6 通常の方法

まずは、定理 2 の通常の証明を簡単に紹介する。

方程式 (2) に、原点で段差を持つ階段関数の初期値

  $$U_0(x) = \left\{\begin{array}{ll} U_L & (\mbox{$x<0$\ のとき})\\ U_R & (\mbox{$x>0$\ のとき}) \end{array}\right.$$ (24)

を与えた問題を Riemann 問題 と呼ぶ。これは、

$$U_{sol} (t,x) = V(x/t)$$

の自己相似形の、区分的に滑らかな解を持ち、 $U_L,U_R\in\Sigma(w_0,z_0)$ に対し、

• $x/t<-\Lambda(w_0,z_0)$ ならば $U_{sol}(t,x) = U_L$,
• $x/t>\Lambda(w_0,z_0)$ ならば $U_{sol}(t,x) = U_R$,
• $w(U_{sol})\leq\max\{w(U_L),w(U_R)\}$, $z(U_{sol})\geq\min\{z(U_L),z(U_R)\}$

を満たすことが知られている。この最後のものから、 $U_{sol}(t,x)\in\Sigma(w_0,z_0)$ であることもわかる。

さらに、方程式 (2) は発散形で、 不連続線上では Rankine-Hugoniot 条件を満たすので、CFL 条件

$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \mu > \Lambda(w_0,z_0)$$

を満たす $\Delta x$, $\Delta t$ に対し、

$$\begin{eqnarray*}0 &=& \int_0^{\Delta t}\int_{-\Delta x}^{\Delta x} \{(U_{... ...ol}(\Delta t,x)dx -(U_L+U_R)\Delta x + \{F(U_R)-F(U_L)\}\Delta t\end{eqnarray*}$$

が成り立つ。この最後の式から、

$$\frac{1}{2\Delta x}\int_{-\Delta x}^{\Delta x} U_{sol}(\Delt... ...ac{1}{2}(U_L+U_R) -\frac{\Delta t}{2\Delta x}\{F(U_R)-F(U_L)\}$$

すなわち、

  $$\frac{1}{2\Delta x}\int_{-\Delta x}^{\Delta x} U_{sol}(\Delta t,x)dx = LF(U_L,U_R, \Delta x/\Delta t)$$ (25)

がわかる。つまり $U_{sol}$ の $t=\Delta t$ 上の $[-\Delta x,\Delta x]$ での積分平均が $LF(U_L,U_R)$ となる。

命題 4

$\psi(x)$ が $[a,b]$ 上の、区間 $I$ に値を取る実数値関数で、 $f(y)$ が区間 $I$ 上で下に凸ならば、

$$f\left(\frac{1}{b-a}\,\int_a^b \psi(x)dx\right) \leq \frac{1}{b-a}\,\int_a^b f(\psi(x))dx$$

$f(y)$ が区間 $I$ 上で上に凸ならば、

$$f\left(\frac{1}{b-a}\,\int_a^b \psi(x)dx\right) \geq \frac{1}{b-a}\,\int_a^b f(\psi(x))dx$$

この命題 4 は Jensen の不等式 と呼ばれる。 積分を Riemann 和に分けて、 それに凸に対する不等式を適用すれば容易に得られる。

今、 $\bar{U}=LF(U_L,U_R)$ とすると、 (25) と命題 1、 命題 4、 および $U_{sol}(t,x)\in\Sigma(w_0,z_0)$ により、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{% f_1(\bar{\rho}) = f_1\left(\frac{1}{2\Delta x}\,\... ...}\,\int_{-\Delta x}^{\Delta x}m_{sol}(\Delta t,x)\,dx = \bar{m}\end{eqnarray*}$$

が成り立ち、よって $f_1(\bar{\rho})\leq\bar{m}\leq f_2(\bar{\rho})$ と なるので、命題 1 より ${}^t(\bar{\rho},\bar{m})\in\Sigma(w_0,z_0)$ が 言えることになる。 これが、定理 2 の通常の証明の流れである。