2 基本事項

方程式 (1) をベクトル形で書くと、

  $$\left[\begin{array}{c}\rho\\ m\end{array}\right]_t + \left[\begi... ...rho+P(\rho)\end{array}\right]_x = \left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$ (2)

の形となる。ここで、$m=\rho u$ (気体の運動量) とした。

一般に、次の形の方程式を、1 次元保存則方程式 と呼ぶ。

  $$U_t + F(U)_x = 0\\$$ (3)

ここで、 $U=U(t,x)={}^t(u_1(t,x),\ldots,u_N(t,x))$ は $(t,x)$ 2 変数の $N$ 次元ベクトル値の未知関数、 $F(U)={}^t(f_1(U),\ldots, f_N(U))$ は $U={}^t(u_1,\ldots,u_N)$ に関して滑らかな $N$ 次元ベクトル関数で、 $F(U)$ 自体 ($F(U(t,x))$ ではなく) は既知とする。 例えば、(2) では、 $U(t,x)={}^t(\rho(t,x),m(t,x))$, $F(U) = {}^t(m, m^2/\rho + P(\rho))$ である。

この $F(U)$ の $U$ に関する勾配 ($N\times N$ 行列)

$$\nabla_U F(U) = \left[ \begin{array}{ccc} \displaystyle \... ...laystyle \frac{\partial f_N}{\partial u_N} \end{array}\right]$$

が異なる実固有値 $\lambda_1(U)<\lambda_2(U)<\cdots<\lambda_N(U)$ を持つ場合、保存則方程式 (3) は 双曲型 と呼ばれる。

本稿では、(1) の圧力 $P=P(\rho)$ は 以下の条件 (4), (5) を 満たすとする。

  $$P(+0) = 0, \hspace{1zw}P'(\rho)> 0 \ (\rho >0), \hspace{1zw}\rho P''(\rho) + 2P'(\rho) \geq 0\ (\rho>0)$$ (4)

かつ、ある正数 $\varepsilon>0$ に対して

  $$\int_0^\varepsilon\frac{\sqrt{P'(\rho)}}{\rho}\,d\rho < \infty.$$ (5)

なお、(4), (5) により、 自然に $C(+0)=0$ となる (A 節参照)。 ポリトロピック、すなわち $P=A\rho^\gamma$ の場合は、 (4) の条件は $\gamma>0$ に対応し、 (5) の条件は $\gamma>1$ (等エントロピー的) に対応する。 今後、

$$\begin{array}{l} \displaystyle C(\rho) = \sqrt{P'(\rho)}, ... ... G(\rho)+C(\rho) \hspace{0.5zw}(=\{\rho G(\rho)\}') \end{array}$$

と書くことにする。なお、(4) の最後の条件は、

$$H'(\rho) = \frac{C(\rho)}{\rho} + \frac{P''}{2\sqrt{P'}} \ = \ \frac{2P'+\rho P''}{2\rho C} \geq 0,$$ (6)

$$(\rho C(\rho))' = C(\rho) + \frac{\rho P''}{2\sqrt{P'}} = \frac{2P'+\rho P''}{2C} \geq 0$$ (7)

などに対応する。

$$w(U) = u+G(\rho),\hspace{1zw}z(U) = u-G(\rho)$$

を Riemann 不変量 と呼ぶ。

(2) に関する $\nabla_UF(U)$ は

  $$\nabla_U F(U) = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -m^2/\... ...t] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -u^2+C^2 & 2u \end{array} \right]$$ (8)

であり、よってその固有値は

$$\lambda_1(U)=u-C(\rho), \hspace{1zw}\lambda_2(U)=u+C(\rho)$$

となり、よって (4) より、 $\rho>0$ では (2) は双曲型となる。 なお、この $\lambda_1$, $\lambda_2$ を使うと、(8) は

  $$\nabla_U F(U) = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\lambda_1\lambda_2 & \lambda_1+\lambda_2 \end{array} \right]$$ (9)

と書くこともできる。