2 基本事項

方程式 (1) をベクトル形で書くと、

$\displaystyle \left[\begin{array}{c}\rho\\ m\end{array}\right]_t + \left[\begi... ...rho+P(\rho)\end{array}\right]_x = \left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$ (2)

の形となる。ここで、 $m=\rho u$ (気体の運動量) とした。

一般に、次の形の方程式を、1 次元保存則方程式 と呼ぶ。

$\displaystyle U_t + F(U)_x = 0\\$ (3)

ここで、 $U=U(t,x)={}^t(u_1(t,x),\ldots,u_N(t,x))$ は $(t,x)$

2 変数の

次元ベクトル値の未知関数、 $F(U)={}^t(f_1(U),\ldots, f_N(U))$ は $U={}^t(u_1,\ldots,u_N)$ に関して滑らかな $N$

次元ベクトル関数で、 $F(U)$

自体 (

ではなく) は既知とする。例えば、(2) では、 $U(t,x)={}^t(\rho(t,x),m(t,x))$ , $F(U) = {}^t(m, m^2/\rho + P(\rho))$ である。

この $F(U)$ の $U$ に関する勾配 ( $N\times N$ 行列)

$\begin{displaymath} \nabla_U F(U) = \left[ \begin{array}{ccc} \displaystyle \... ...laystyle \frac{\partial f_N}{\partial u_N} \end{array}\right] \end{displaymath}$

が異なる実固有値 $\lambda_1(U)<\lambda_2(U)<\cdots<\lambda_N(U)$ を持つ場合、保存則方程式 (3) は 双曲型 と呼ばれる。

本稿では、(1) の圧力 $P=P(\rho)$ は以下の条件 (4), (5) を満たすとする。

$\displaystyle P(+0) = 0, \hspace{1zw}P'(\rho)> 0 \ (\rho >0), \hspace{1zw}\rho P''(\rho) + 2P'(\rho) \geq 0\ (\rho>0)$ (4)

かつ、ある正数 $\varepsilon>0$ に対して

$\displaystyle \int_0^\varepsilon\frac{\sqrt{P'(\rho)}}{\rho}\,d\rho < \infty.$ (5)

なお、(4), (5) により、自然に $C(+0)=0$

となる (A 節参照)。ポリトロピック、すなわち $P=A\rho^\gamma$ の場合は、 (4) の条件は $\gamma>0$ に対応し、 (5) の条件は $\gamma>1$ (等エントロピー的) に対応する。今後、

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle C(\rho) = \sqrt{P'(\rho)}, ... ... G(\rho)+C(\rho) \hspace{0.5zw}(=\{\rho G(\rho)\}') \end{array}\end{displaymath}$

と書くことにする。なお、(4) の最後の条件は、

$\displaystyle H'(\rho)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{C(\rho)}{\rho} + \frac{P''}{2\sqrt{P'}} \ = \ \frac{2P'+\rho P''}{2\rho C} \geq 0,$	(6)
$\displaystyle (\rho C(\rho))'$	$\textstyle =$	$\displaystyle C(\rho) + \frac{\rho P''}{2\sqrt{P'}} = \frac{2P'+\rho P''}{2C} \geq 0$	(7)

などに対応する。

$\begin{displaymath} w(U) = u+G(\rho),\hspace{1zw}z(U) = u-G(\rho) \end{displaymath}$

を Riemann 不変量 と呼ぶ。

(2) に関する $\nabla_UF(U)$ は

$\displaystyle \nabla_U F(U) = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -m^2/\... ...t] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -u^2+C^2 & 2u \end{array} \right]$ (8)

であり、よってその固有値は

$\begin{displaymath} \lambda_1(U)=u-C(\rho), \hspace{1zw}\lambda_2(U)=u+C(\rho) \end{displaymath}$

となり、よって (4) より、 $\rho>0$ では (2) は双曲型となる。なお、この $\lambda_1$ , $\lambda_2$ を使うと、(8) は

$\displaystyle \nabla_U F(U) = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\lambda_1\lambda_2 & \lambda_1+\lambda_2 \end{array} \right]$ (9)

と書くこともできる。

竹野茂治＠新潟工科大学
2020-02-28