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3 閉曲面、閉曲線の場合

前節と同じ論法で、 2., 4. を 次のように変えても同様の事実が成り立つ。

定理 2

7. どんな領域の境界面 $S$ (閉曲面) に対しても $$\int_S \phi dS = 0$$ ならば $\phi\equiv 0$
8. どんな曲面の境界線 $C$ (閉曲線) に対しても $$\int_C \phi dt = 0$$ ならば $\phi\equiv 0$ ($dt$ の積分でなく、$ds$ の積分でも同じことが言える)

しかし、例えばこの 8. は、$dx$ や $d\mbox{\boldmath$r$}$ の積分ではもはや成り立たない。それは、例えば $\phi\equiv \alpha$ (= 0 ではない定数) の場合、 $\phi\equiv 0$ ではないが、 任意の閉曲線に対して

$$\int_C \phi dx = \alpha \int_a^b x'(t)dt = \alpha \{x(b)-x(a)\}=0$$

(閉曲線なので $x(a)=x(b)$) となってしまうからである。

つまり、「閉」曲線に関する積分の場合、 その任意性は $\phi\equiv 0$ が言えてしまう程のものではないこともある。 それはベクトル場に対しても同様であり、 例えば以下の条件が満たされても $\phi$, $\mbox{\boldmath$A$}$ は 0 (や $\mbox{\boldmath$0$}$) であるとは限らない。

9. どんな曲面の境界線 $C$ (閉曲線) に対しても $$\int_C \phi dx = 0$$
10. どんな領域の境界面 $S$ (閉曲面) に対しても $$\int_S \mbox{\boldmath$A$}\cdot \mbox{\boldmath$n$}dS = 0$$
11. どんな曲面の境界線 $C$ (閉曲線) に対しても $$\int_C \mbox{\boldmath$A$}\cdot d\mbox{\boldmath$r$} = 0$$

では、9., 10., 11., の元ではどこまで言えるかを考えてみる。

例えば 10. の条件の元では、 その領域を $V$ とすると、発散定理によりその $V$ に対して

$$\int_S \mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$n$} dS = \int_V\nabla\cdot\mbox{\boldmath$A$} dv = 0$$

が言えることになる。よって $V$ の任意性と 1. により $\nabla\cdot\mbox{\boldmath$A$}\equiv 0$ が成り立つ。

同様に、11. の元では、その曲面を $S$ とすると ストークスの公式により

$$\int_C \mbox{\boldmath$A$}\cdot d\mbox{\boldmath$r$} = \int_S(\nabla\times\mbox{\boldmath$A$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}dS=0$$

が言える。よって $S$ の任意性と 3. により $\nabla\times\mbox{\boldmath$A$}\equiv\mbox{\boldmath$0$}$ が成り立つ。

9. の場合は、 $\mbox{\boldmath$A$}=(\phi,0,0)$ と考えれば $\mbox{\boldmath$A$}\cdot d\mbox{\boldmath$r$}=\phi dx$ なので、再びストークスの公式により

$$\int_C \phi dx =\int_C \mbox{\boldmath$A$}\cdot d\mbox{\bol... ...S(\nabla\times\mbox{\boldmath$A$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}dS=0$$

より 1. から

$$\nabla\times\mbox{\boldmath$A$}=\left(0, \frac{\partial \phi}{\partial z},-\frac{\partial \phi}{\partial y}\right) =(0,0,0)$$

となり、よって $\partial \phi/\partial z=\partial \phi/\partial y=0$ より $\phi(x,y,z)\equiv\psi(x)$ ($x$ のみの 1 変数関数) となることが分かる。

命題 3

• 9. ならば $\phi(x,y,z)$ は $x$ のみの関数
• 10. ならば $\nabla\cdot\mbox{\boldmath$A$}=0$
• 11. ならば $\nabla\times\mbox{\boldmath$A$}=\mbox{\boldmath$0$}$

もちろんこれらは逆も成立する。