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2 任意の範囲での積分が 0

任意の範囲での積分が 0 ならば被積分関数自体が 0 になる、 という事実がいくつか成り立つ。

定理 1

連続なスカラー場 $\phi$, ベクトル場 $\mbox{\boldmath$A$}$ に対して次がいえる。

1. どんな 3 次元領域 $V$ に対しても $$\int_V \phi dv = 0$$ ならば $\phi\equiv 0$
2. どんな曲面 $S$ に対しても $$\int_S \phi dS = 0$$ ならば $\phi\equiv 0$
3. どんな曲面 $S$ に対しても $$\int_S \mbox{\boldmath$A$}\cdot \mbox{\boldmath$n$}dS = 0$$ ならば $\mbox{\boldmath$A$}\equiv\mbox{\boldmath$0$}$
4. どんな曲線 $C$ に対しても $$\int_C \phi dt = 0$$ ならば $\phi\equiv 0$
   ($dt$ の積分でなく、$ds$ や $dx$ の積分などでも同じことが言える)
5. どんな曲線 $C$ に対しても $$\int_C \mbox{\boldmath$A$}\cdot d\mbox{\boldmath$r$} = 0$$ ならば $\mbox{\boldmath$A$}\equiv\mbox{\boldmath$0$}$

これらはいずれも、1 次元の場合の、

6. 任意の $a$,$b$ ($a<b$) に対して $$\int_a^bf(x)dx = 0$$ ならば $f(x)\equiv 0$

と同様の方針で証明される。

この 6. は、「$f(x)\equiv 0$ ではないとしたら、 $f(x_0)\neq 0$ となる点 $x_0$ が少なくとも一つあり (例えば $f(x_0)>0$ とする)、 $f(x)$ が連続ならばその $x_0$ の近くの $x$ ではやはり正になるので、 その $x_0$ の近くで積分すれば正の値になるはずなので矛盾」 のように証明される。

なお、3., 5. は 一見同様ではないようにも見えるが、例えば 3. は

$$\int_S\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$n$}dS =\int_S (A_x n_x + A_y n_y + A_z n_z)dS$$

なので、例えば $xy$ 平面に平行な面を取れば $n_z=1$, $n_x=n_y=0$ となり、 そこから $A_z\equiv 0$ が導かれ、 他の成分 $A_x$, $A_y$ も $yz$ 平面、$xz$ 平面に平行な面を考えることで 同様に 0 となることが言える。