6 y4 の場合

$y_4$ は、(6), (7) によって 1 から $L$ までの 整数が作られるので、この場合は、$1\leq k\leq L$ に対し、

$$\mathrm{Prob}\{y_4=k\} = \mathrm{Prob}\{\lfloor p_4(L-1)\rfloor=k-1\} = \mathrm{Prob}\{k-1\leq p_4(L-1)<k\}$$

$$= \mathrm{Prob}\{(k-1)/(L-1)\leq p_4<k/(L-1)\}$$

$$= \mathrm{Prob}\{(k-1)R_M/(L-1)\leq x<kR_M/(L-1)\}$$ (19)

となる。ここで、 $(k-1)R_M/(L-1)\geq 0$ であるが、 $kR_M/(L-1)$ は、$k=L$ のとき、

$$\frac{R_M}{L-1}L =R_M+\frac{R_M}{L-1} >R_M+1 \hspace{1zw}(\mbox{$R_M+1\gg L$ より})$$

となってしまうので、$k=L$ に対しては 補題 1 を適用できず、別に考える必要がある。 ただし、$k<L$ ならば、

$$\frac{R_M}{L-1}k\leq \frac{R_M}{L-1}(L-1)=R_M$$

なので、補題 1 は適用できる。 この場合は、補題 1 と (19) より、

$$\mathrm{Prob}\{y_4=k\} = \frac{1}{R_M+1}\left\{ \left\lceil... ...t\rceil -\left\lceil\frac{R_M}{L-1}(k-1)\right\rceil \right\}$$

となる。$k=L$ のときは、(19) より、

$$\begin{eqnarray*}\mathrm{Prob}\{y_4=k\} &=& \mathrm{Prob}\{(L-1)R_M/(L-1)\leq ... ...M/(L-1)+R_M\} \ &=& \mathrm{Prob}\{x=R_M\} = \frac{1}{R_M+1}\end{eqnarray*}$$

となるので、$y_4$ に関しては、

$$\gamma_k = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle \left\lce... ...right\rceil & (1\leq k<L)\ [1zh] 1 & (k=L)\end{array}\right.$$

に対して、

$$\mathrm{Prob}\{y_4=k\}=\frac{\gamma_k}{R_M+1}$$

となることになる。

$1\leq k<L$ の場合は、補題 2 より

$$\left\lceil\frac{R_M}{L-1}\right\rceil-1 \leq\gamma_k\leq \left\lceil\frac{R_M}{L-1}\right\rceil$$ (20)

であることがわかる。

これは、$\gamma_1$,$\gamma_2$,...,$\gamma_{L-1}$ が $R_M$ の $(L-1)$ 個への最適な均等配分であることを意味し、 よっていずれも $R_M/(L-1) (\gg 1)$ に近く、 $\gamma_L$ のみ 1 となっていることになる。

よって、$y_4$ は、$y_4=L$ となる確率以外は均等だが、 $y_4=L$ となる確率だけかなり小さい、ということになる。

元々、$p_4(L-1)+1$ を考えてみれば、これは確かに

$$1\leq p_4(L-1)+1\leq L$$

となり、それぞれの等号が成立する場合もあるのであるが、 この $p_4(L-1)+1$ の整数部分 ($=y_4$) が $L$ になるのは、 $p_4=1$、すなわち $x$ が丁度 $R_M$ になるときのみであり、 それ以外の整数部分とは明らかに割合が違うことが想像できると思う。