3 y2 で L=2 の場合

簡単のため、まず $y_2$ で $L=2$ の場合の確率を考えてみることにする。

$L=2$ なので、$y_2=1$ または $y_2=2$ であるが、 (3), (4) より、

$$\mathrm{Prob}\{y_2=1\} = \mathrm{Prob}\{\lfloor 2p_2\rfloor=0\} = \mathrm{Prob}\{0\leq 2p_2<1\}$$

$$= \mathrm{Prob}\{0\leq 2x/(R_M+1)<1\}$$

$$= \mathrm{Prob}\{0\leq x<(R_M+1)/2\},$$ (9)

$$\mathrm{Prob}\{y_2=2\} = \mathrm{Prob}\{\lfloor 2p_2\rfloor=1\} = \mathrm{Prob}\{1\leq 2p_2<2\}$$

$$= \mathrm{Prob}\{1\leq 2x/(R_M+1)<2\}$$

$$= \mathrm{Prob}\{(R_M+1)/2\leq x<R_M+1\}$$ (10)

のようになる。ここで、次の補題を利用する。

補題 1

$\lceil t\rceil$ を $t$ 以上の最小の整数を表わすとするとき、 $-1<A<B\leq R_M+1$ となる $A$, $B$ に対して

$$\mathrm{Prob}\{A\leq x<B\} = \frac{\lceil B\rceil-\lceil A\rceil}{R_M+1}$$ (11)

証明

$-1<A<B\leq R_M+1$ ならば

$$0\leq\lceil A\rceil\leq\lceil B\rceil\leq R_M+1$$ (12)

であり、一方、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mathrm{Prob}\{A\leq x<B\}} \ &=& \mathrm{Prob}\{x\... ...\lceil A\rceil+1\}+\cdots +\mathrm{Prob}\{x=\lceil B\rceil-1\} \end{eqnarray*}$$

であり、(12) より、 これらの確率はすべて $1/(R_M+1)$ となる。 よって、(11) が成り立つ。

この補題 1 を用いれば、 (9), (10) より、

$$\begin{eqnarray*}\mathrm{Prob}\{y_2=1\} &=& \frac{1}{R_M+1}\left\lceil\frac{R_M+... ...\right) =1-\frac{1}{R_M+1}\left\lceil\frac{R_M+1}{2}\right\rceil\end{eqnarray*}$$

となる。

$R_M$ が奇数の場合、$(R_M+1)/2$ は整数なので、

$$\mathrm{Prob}\{y_2=1\}=\mathrm{Prob}\{y_2=2\}=\frac{1}{R_M+1} \frac{R_M+1}{2}=\frac{1}{2}$$ (13)

となり、$R_M$ が偶数の場合は、

$$\left\lceil\frac{R_M+1}{2}\right\rceil = \left\lceil\frac{R_M}{2}+\frac{1}{2}\right\rceil =\frac{R_M}{2}+1$$

なので、

$$\mathrm{Prob}\{y_2=1\}=\frac{1}{R_M+1}\left(\frac{R_M}{2}+1... ...ace{1zw} \mathrm{Prob}\{y_2=2\}=\frac{1}{R_M+1} \frac{R_M}{2}$$ (14)

となることになる。

$R_M$ が偶数の場合は、わずかに違いが出ることになるが、 この場合 $(R_M+1)$ が奇数になるので、 それをなるべく等しく 2 つに分けるには $R_M/2$ と $(R_M/2)+1$ に分けるのが最善であるから、 (13), (14) は、 いずれの場合もある意味で (8) のように 確率を均等にする最良の分け方 (のひとつ) であることになる。 なお、(14) の確率が逆の場合も同じ意味で最良であり、 このような最良の分配方法は一意に決まるわけではない。

とりあえず、$L=2$ の場合は、 $y_2$ はそれなりに妥当なものであることが言えたことになる。