5 実数軸上の分布

4 節の計算によれば、平均自乗誤差の点では (6) (すなわち $P_1$) という不等式は (7) (すなわち $P_2$) や (8) (すなわち $P_3$) を用いるよりもよく、 (14) (すなわち $P_5$) は それらよりもさらによいことがわかったが、 これは次のように実数軸上の区間 $[0,1]$ 内の分布として考えると より直感的にわかるだろう。

簡単のため、$R_M=3$ とすると、 $P_1$ は (6) を用いるということは、 $x=0,1,2,3$ の 4 通りが同様に確からしく起こるのに対して、 $y=x/R_M=0,1/3,2/3,1$ の 4 通りが同様に現れることになり、 これで 0 から 1 までの実数の乱数を作っていることになる (図 5)。

図 5: $P_j$ ($j=1,2,3,5$) の分布 ($R_M=3$ の場合)

これに対して、$P_2$ は、(7) であるから $y=(x+1)/(R_M+1)=1/4,1/2,3/4,1$ の 4 通り、 $P_3$ は、(8) であるから $y=x/(R_M+1)=0,1/4,1/2,3/4$ の 4 通り を作っていくことになり、 これは、$P_1$ に比べて区間 $[0,1]$ 全体に均等に分布しているとは言いづらい。

一方 $P_5$ は、(14) であるから $y=(x+1/2)/(R_M+1)=0.5/4,1.5/4,2.5/4,3.5/4$ の 4 通りで、 より区間 $[0,1]$ に綺麗に均等に分布していることがわかると思う。