3 その他の不等式

2 節の $P_1$ と $r$ との違いをよりわかりやすく見るために、 (3) を $r$ の関数とみて、グラフに書いてみることにする。 なお、ここでは簡単のため $R_M=3$ としてみる。

このとき、$P_1$ は (3) より、

$$P_1=\frac{\lfloor 3r\rfloor+1}{4}$$

となるので、グラフは図 2 のようになる。

図 2: $P_1$ と $r$ (破線) のグラフ

このグラフの横軸は 3 等分されているが、縦軸は 4 等分されている。 これは、$x$ の値が 0 から $R_M$ までの $(R_M+1)$ 通りあるのに、 $P_1$ では

$$\frac{x}{R_M}\leq r$$ (6)

という不等式を利用していることに由来する。よって、むしろこれに変えて、

$$\frac{x+1}{R_M+1}\leq r$$ (7)

や、

$$\frac{x}{R_M+1}\leq r$$ (8)

という不等式を利用する方が自然であると思われる。 (7) を利用する場合は、この左辺は $(0,1]$ の実数値で、 (8) を利用する場合は、この左辺は $[0,1)$ の実数値となる。

これらの不等式を利用した場合の確率をそれぞれ $P_2$, $P_3$ とすると、 (2) より、

$$P_2 = \mathrm{Prob}\{(x+1)/(R_M+1)\leq r\} = \mathrm{Prob}\{x+1\leq (R_M+1)r\}$$

$$= \mathrm{Prob}\{x+1\leq \lfloor (R_M+1)r\rfloor\} = \mathrm{Prob}\{x\leq \lfloor (R_M+1)r\rfloor-1\}$$

$$= \frac{\lfloor (R_M+1)r\rfloor}{R_M+1},$$ (9)

$$P_3 = \mathrm{Prob}\{x/(R_M+1)\leq r\} = \mathrm{Prob}\{x\leq (R_M+1)r\}$$

$$= \mathrm{Prob}\{x\leq \lfloor (R_M+1)r\rfloor\}$$

$$= \frac{\lfloor (R_M+1)r\rfloor+1}{R_M+1}$$ (10)

となる。

(4) より、$P_2$, $P_3$ は、

$$\begin{eqnarray*}&& \frac{(R_M+1)r-1}{R_M+1}<P_2\leq \frac{(R_M+1)r}{R_M+1}=r, && r=\frac{(R_M+1)r}{R_M+1}<P_3\leq \frac{(R_M+1)r+1}{R_M+1}\end{eqnarray*}$$

を満たすので、$r$ との差は、

$$-\frac{1}{R_M+1}<P_2-r\leq 0, \hspace{1zw} 0<P_3-r\leq \frac{1}{R_M+1}$$ (11)

と評価される。

$R_M$ が十分大きければ、(11) から $P_2$, $P_3$ も $r$ に十分近いことがわかるが、 $P_2$ は $r$ 以下、$P_3$ は $r$ 以上であり、 (5) と比較してみても、(11) の $P_2$, $P_3$ はそれほどよいとも言えないように見える。

$P_2$, $P_3$ を $r$ の関数と見ると、$R_M=3$ の場合は、

$$P_2=\frac{\lfloor 4r\rfloor}{4}, \hspace{1zw} P_3=\frac{\lfloor 4r\rfloor+1}{4}$$

であるので、グラフは図 3 のようになる。

図 3: $P_2$ と $P_3$ のグラフ

見てわかる通り、この $P_2$, $P_3$ の中間のようなグラフが むしろ $r$ に近いことがわかる。 $P_2$, $P_3$ の中間のようなグラフとしては、 例えば次の 2 種類が考えられる:

$$P_4 = \frac{\lfloor(R_M+1)r\rfloor+1/2}{R_M+1}$$ (12)

$$P_5 = \frac{\lfloor(R_M+1)r+1/2\rfloor}{R_M+1}$$ (13)

例えば $R_M=3$ のときは、

$$P_4=\frac{\lfloor 4r\rfloor}{4}+\frac{1}{8}, \hspace{1zw} P_5=\frac{\lfloor 4r+1/2\rfloor}{4}$$

であり、これらのグラフは図 4 のようになる。

図 4: $P_4$ と $P_5$ のグラフ

$P_4$ は $P_2$ を上に $1/8$ ずらしたもの、 $P_5$ は $P_2$ を左に $1/8$ ずらしたものとなっている。 方向は違うが、いずれも $r$ とのずれは同じ位になっている。

$P_4$ は、(9), (10), (12) より

$$P_4=\frac{1}{2}P_2+\frac{1}{2}P_3$$

なので、例えば 2 回に 1 回 (7) を使い、 2 回に 1 回 (8) を使えば、その確率は $P_4$ となる。

一方 $P_5$ は、

$$\begin{eqnarray*}P_5 &=& \frac{\lfloor(R_M+1)r+1/2\rfloor}{R_M+1} = \mathrm{... ...R_M+1)r-1/2\rfloor\} &=& \mathrm{Prob}\{x\leq (R_M+1)r-1/2\}\end{eqnarray*}$$

であるので、

$$\frac{x+1/2}{R_M+1}\leq r$$ (14)

という不等式を用いれば $P_5$ になる。 もちろん、$P_4$ よりも $P_5$ の方が実装は容易である。