4 平均自乗誤差
と
との近さをはかる尺度として、
誤差評価でよく用いられる平均自乗誤差を計算してみる。
と
(
) の 平均自乗誤差
(以後
とする) とは、
で定義されるものであり、関数解析学では
ノルム と呼ばれている3。
これを
に対して計算してみる。
に対する平均自乗誤差を
(
) とすると、
グラフから、
となることが予想されるが、一応すべて計算してみることにする。
まずは
から。
![\begin{eqnarray*}E_1^2
&=&
\int_0^1(r-P_1)^2dr
=
\int_0^1\left(r-\frac{\lflo...
... \frac{1}{3R_M^2} \frac{R_M}{2(R_M+1)}
=
\frac{1}{6R_M(R_M+1)}\end{eqnarray*}](img81.gif)
よって、
は
となる。
次に
。
![\begin{eqnarray*}E_2^2
&=&
\int_0^1(r-P_2)^2dr
=
\int_0^1\left(r-\frac{\lflo...
...^3}\sum_{k=1}^{R_M+1}\int_0^1 t^2dt
&=&
\frac{1}{3(R_M+1)^2}\end{eqnarray*}](img84.gif)
よって、
は
となる。
と比較すると、
より、
である。
は、
![\begin{eqnarray*}E_3^2
&=&
\int_0^1(r-P_3)^2dr
=
\int_0^1\left(r-\frac{\lflo...
...{R_M+1}\int_0^1 (t-1)^2dt
&=&
\frac{1}{3(R_M+1)^2}
=
E_2^2\end{eqnarray*}](img89.gif)
となるので、確かに
となっている。
次は
。
![\begin{eqnarray*}E_4^2
&=&
\int_0^1(r-P_4)^2dr
=
\int_0^1\left(r-\frac{\lflo...
...2}\right)^2dt
&=&
\frac{1}{12(R_M+1)^2}
=
\frac{1}{4}E_2^2\end{eqnarray*}](img92.gif)
となるので、
となる。
最後に
。
![\begin{eqnarray*}E_5^2
&=&
\int_0^1(r-P_5)^2dr
=
\int_0^1\left(r-\frac{\lflo...
...left(t-\frac{1}{2}\right)^2dt
=
\frac{1}{12(R_M+1)^2}
=
E_4^2\end{eqnarray*}](img95.gif)
となるので、確かに
となる。
と
を比較すると、
より、
となる。
よって、結果として、
となることがわかる。
竹野茂治@新潟工科大学
2007年5月31日