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3 有限部分の引き算

$W(x)$ の式のうち、

\begin{displaymath}
\int_0^\infty\frac{\cos xy}{y^2+y+1}dy,\ \
\int_0^\infty\frac{\cos xy}{y^2-y+1}dy
\end{displaymath}

などは (0 次式)/(2 次式) なのでちゃんと収束しますので、 これをまず分けます。

\begin{eqnarray*}
W(x) & = & I(x) + J(x),\\
I(x) & = & \int_0^\infty\frac{\co...
...ft(
-\frac{y\cos xy}{y^2+y+1}+\frac{y\cos xy}{y^2-y+1}\right)dy
\end{eqnarray*}

$W(x)$, $I(x)$ は有限なので、$J(x)$ も一応有限ですが、 これは 2 つに分けるのは危険です。

$I(x)$ は、

\begin{displaymath}
I(x)= \int_0^\infty\left(\frac{\cos xy}{y^2+y+1}+\frac{\cos xy}{y^2-y+1}\right)
dy
\end{displaymath}

と一つにしてみると分かりますが、被積分関数は偶関数なので

\begin{displaymath}
I(x)= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty
\left(\frac{\cos xy}{y^2+y+1}+\frac{\cos xy}{y^2-y+1}\right)dy
\end{displaymath}

とでき、よって

\begin{displaymath}
I(x)= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos xy}{y^2+y+1}dy
+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos xy}{y^2-y+1}dy
\end{displaymath}

となります (この計算はすべて有限の範囲なので問題はありません)。

分母をそれぞれ $y^2+y+1=(y+1/2)^2+3/4$, $y^2-y+1=(y-1/2)^2+3/4$ と標準変形し、$y+1/2$, $y-1/2$$u$ と置換積分すると (このために $-\infty$ から $\infty$ の積分に変えてあります)

\begin{eqnarray*}
I(x) & = & \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x(u-1/2...
... \frac{2\pi}{\sqrt{3}}e^{-\vert x\vert\sqrt{3}/2}\cos\frac{x}{2}
\end{eqnarray*}

となります。最後の式には公式 (2) を使いました。

後は残りの $J(x)$ の計算です。


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Shigeharu TAKENO
2003年 11月 27日