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(PDF ファイル: kusa1.pdf)
広義積分
![\begin{displaymath}
Z(t)=2\pi\int_0^\infty\frac{\cos\omega t}{(\omega^2+\gamma^2)\omega^2+\gamma^4}
d\omega
\end{displaymath}](img2.gif) |
(1) |
について考えてみます。分母は
の 4 次式で因数分解して考えると
公式 (cf.[1])
![\begin{displaymath}
\int_0^\infty\frac{\cos ax}{x^2+1}dx = \frac{\pi}{2}e^{-\vert a\vert}
\end{displaymath}](img4.gif) |
(2) |
が使えるのではないかと予想されるのですが、以下に述べるやや微妙な事情があり
注意が必要です。
- 広義積分は発散して無限大になることもあるので、簡単に和や差を行うことが
できず、常に個々の積分が有限であるかどうかを確認し、
例えば
のような式にならないように注意する必要がある
- 公式 (2) は数学辞典 [1] に載っているし、
![\begin{displaymath}
\int_0^\infty\frac{x\sin ax}{x^2+1}dx = \frac{\pi}{2}e^{-\vert a\vert}
\end{displaymath}](img6.gif) |
(3) |
という公式は載っているものの
![\begin{displaymath}
\int_0^\infty\frac{\sin ax}{x^2+1}dx
\end{displaymath}](img7.gif) |
(4) |
に関する公式は載っていない
公式 (2),(3) はいずれも複素関数の留数計算などから
導かれるのですが、(4) はそれにはうまく載らない形で、
きれいな式で表すことはできない (あるいは知られていない) のではないかと
思われます。よってこの式が出てきたら、少なくとも私の手元の数学辞典
[1] よりもう少し詳しい公式集が必要かもしれませんし、
もしかしたら簡単な式で表すのは無理なのかも知れません。
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Shigeharu TAKENO
2003年 11月 27日