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4 $J(x)$ の計算

$J(x)$ 自体は前に述べたようにかなり微妙なので、広義積分の極限を取る前の式で 考えてみることにします。

$$\begin{eqnarray*} J(x) & = & \lim_{N\rightarrow\infty}J_N(x),\\ J_N(x) & = & ... ...ft( -\frac{y\cos xy}{y^2+y+1}+\frac{y\cos xy}{y^2-y+1}\right)dy \end{eqnarray*}$$

とします。この $J_N(x)$ を 2 つに分けて $I$ のようにそれぞれの分母を 標準変形して置換積分してみます。まず、$J_N(x)$ の被積分関数が 偶関数であることに注意して $-N$ から $N$ までの積分に直してからそれを行います。

$$\begin{eqnarray*} J_N(x) & = & \frac{1}{2}\int_{-N}^N\left( -\frac{y\cos xy}{y... ...{2}\int_{-N-1/2}^{-N+1/2}\frac{(u+1/2)\cos x(u+1/2)}{u^2+3/4}du \end{eqnarray*}$$

さてこの $P_N$ ですが、加法定理により

$$-(u-1/2)\cos x(u-1/2)+(u+1/2)\cos x(u+1/2) =-2u\sin xu\sin\frac{x}{2} + \cos xu\cos\frac{x}{2}$$

となり、偶関数なので $0$ から $N-1/2$ の積分に直すと $N\rightarrow\infty$ に対し

$$\begin{eqnarray*} P_N(x) & = & -2\sin\frac{x}{2}\int_0^{N-1/2}\frac{u\sin xu}{u... ... +\frac{\pi}{\sqrt{3}}e^{-\vert x\vert\sqrt{3}/2}\cos\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$$

となります。後の残りの $Q_N(x)$ ですが、実はこれは 0 に収束します。 それは、

$$\int_{N-1/2}^{N+1/2}\frac{1}{u}du = \log\frac{N+1/2}{N-1/2}\rightarrow \log 1=0$$

とほぼ同様に示すことができます。

よって、結局

$$J(x) = \lim_{N\rightarrow\infty}\{P_N(x)+Q_N(x)\} =\pi e^{-\... ...eft(-\sin\frac{x}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cos\frac{x}{2} \right)$$

となります。故に

$$\begin{eqnarray*} W(x) & = & I(x)+J(x)\\ & = & \pi e^{-\vert x\vert\sqrt{3}/2... ...ert x\vert\sqrt{3}/2}\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{2\pi}{3}\right) \end{eqnarray*}$$

となり、

$$Z(t)=2\pi^2 \gamma^{-3} e^{-\vert\gamma t\vert\sqrt{3}/2} \sin\left(\frac{\gamma t}{2}+\frac{2\pi}{3}\right)$$

となるようです。$\gamma$ も $t$ も正ならば、絶対値はなくても結構です。

多分、元の式がきれいな形なのでそう面倒ではなくうまく求めることができました。