3 対数グラフ

ここでは、対数グラフがどういう点に優れていて、 どういう場面で使われるのかを説明する。

実験のデータ等をグラフに取っていくと、それに何らかの規則があれば、 多少誤差が含まれていてもその様子がぼんやり見えてくる (図 5)。

図 5: 実験データのグラフ

しかし、その関係が曲線である場合、それがどんな式にあてはまるのかを 見い出すことは容易ではない (図 6)。

例えばそれが $y=Ax^2$ のように $x^2$ に 比例する関係なのか、$y=Bx^3$ のように $x^3$ に比例する関係なのかを 目で見極めることは非常に難しいし、 さらにそのデータに誤差が含まれていることを考えると、 それを行なうのは現実的ではない。

図 6: 曲線的な関係

しかし、これを両対数グラフに書くと、その見かけの位置は、

$$X=\log_{10}x,\hspace{1zw}Y=\log_{10}y$$

なので、例えば $y=Ax^2$ という関係の場合、 両対数グラフでの見かけの位置は

$$\begin{eqnarray*}Y & = & \log_{10}y = \log_{10}Ax^2 = \log_{10}A + \log_{10}x^2 = \log_{10}A + 2\log_{10}x \\ &=& 2X + \log_{10}A\end{eqnarray*}$$

となり、すなわち $y=Ax^2$ の両対数グラフでの見かけのグラフは 「傾きが 2 の直線」となる。

同様に、$y=Bx^3$ のグラフも、 両対数グラフでは見かけは「傾きが 3 の直線」になり、 結局これらは両対数グラフの直線になり、 そしてその違いはその直線の傾きで知ることができるようになる。 これならば、人間の目でもおおまかに知ることは可能である (統計的に定量的に知るための「相関係数」というものもある)。

ジップの法則のように $y=a/x$ という関係の場合は、$y=ax^{-1}$ なので、 または

$$Y = \log_{10}y = \log_{10}\frac{a}{x} = \log_{10}a - \log_{10}x = -X + \log_{10}a$$

より、両対数グラフでは傾きが $-1$ のグラフになる。

また、自然現象、工学現象では、$y=A\times B^x$ のような指数関数の関係が 現れることも多い。この場合は、$y$ 軸が対数軸である片対数グラフで見ると その見かけの位置 $(x,Y)$ は、

$$Y = \log_{10}y = \log_{10}A\times B^x = \log_{10}A + \log_{10}B^x = \log_{10}A + x\log_{10}B$$

となり、この片対数グラフでは傾き $\log_{10}B$ の直線になることになる。