5 広義積分の同等性: その 2

次は、以下を示す。

命題 5.1 $I_1$ が収束すれば $I_2$ も収束し、(4) が成立する。

これが言えれば、$I_1$ と $I_2$ が同時に収束・発散することが 示されることになり、広義積分の同等性が保証されることになる。

しかし、$I_1<\infty$ のときは補題 4.2 に 相当することを示すことができず、 すなわち (10) の $bB$ が 0 に収束することを 直接示すことができない。 よって、命題 5.1 は命題 4.1 の 力を借りて証明する。

(10) より、任意の $0<B<A$, $b=f^{-1}(B)$ に対し、

$$\int_B^A f^{-1}(y)dy = aA-bB+\int_a^b f(x)dx < aA+\int_a^b f(x)dx < aA+I_1$$ (13)

となり、この左辺は $B$ に関して単調であるから、$I_1<\infty$ のときは、 (13) の左辺の積分の $B\rightarrow+0$ の極限 $I_2$ は

$$I_2\leq aA+I_1<\infty$$

と有限値に収束することがわかる。 よって、命題 4.1 により (4) が 成立するので (当然補題 4.2 も成り立つ)、 これで 命題 5.1 が示されたことになる。