2 設定と目標

まずは本稿での設定と目標を示す。

$a\geq 0$ とし, 関数 $y=f(x)$ は $[a,\infty)$ で正値の狭義単調減少な 連続関数で、

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=0$$ (1)

とする。 すると $A=f(a)$ によって $(0,A]$ 上の $y=f(x)$ の逆関数 $x=f^{-1}(y)$ が 存在し、正値の狭義単調減少な連続関数で、

$$\lim_{y\rightarrow +0}{f^{-1}(y)}=\infty$$ (2)

となる (図 1)。

図 1: $y=f(x)$ と $x=f^{-1}(y)$

このとき、両者の広義積分

$$\left\{\begin{array}{lll} I_1 &= \displaystyle \int_a^\infty f(... ...= \displaystyle \lim_{B\rightarrow +0}{\int_B^Af^{-1}(y)dy} \end{array}\right.$$ (3)

が、必ず

$$I_2 = I_1 + aA$$ (4)

となるのかどうかを考察するのが本稿の目標である。

これらの積分は、無限に伸びる図形としては対応しているのであるが、 広義積分の取り方は、いずれも縦に有限な部分を切り落としてその極限とする (図 2) ので、 $I_2$ の図形を $I_1$ の方に揃えて $x,y$ を入れ変えて考えれば、 $I_1$ の方は鉛直方向に切って、それを水平に (右に) 伸ばしていく極限、 $I_2$ の方は水平方向に切って、それを鉛直に (下に) 伸ばしていく極限、 ということになる

図 2: 広義積分のそれぞれの極限の取り方

このように、極限の取り方が両者で違っているので、 $I_1$, $I_2$ の収束・発散が同時に起こるか、 また (4) が成立するかどうかは自明ではない。