4 広義積分の同等性: その 1

本節では、次を示す。

命題 4.1 $I_2$ が収束すれば $I_1$ も収束し、(4) が成立する。

まず、前節の定理 3.1 より、 $a<b$ なる任意の $b$ に対して $B=f(b)$ とすると、

$$\int_B^A f^{-1}(y)dy = \int_{f(b)}^{f(a)} f^{-1}(y)dy = aA-bB+\int_a^b f(x)dx$$ (10)

となる。この式で $b\rightarrow\infty$ とすることを考えるが、 $B=f(b)\rightarrow +0$ より、(4) が成立することは ほぼ「 $bB\rightarrow 0$」となるときであることがわかる。 一方で $bB$ の極限 $\infty\times 0$ の不定形なので 0 に収束することは自明ではない。 しかし、$I_2<\infty$ のときは次が言える。

補題 4.2 $I_2<\infty$ のとき、$a<b$ なる任意の $b$, $B=f(b)$ に対し、

$$\int_0^Bf^{-1}(y)dy \geq bB>0$$ (11)

証明

$a<b<d$ なる任意の $d$ に対して $D=f(d)$ とすると、 $D\leq y\leq B$ 上では $f^{-1}(y)\geq f^{-1}(B)$ なので、

$$\int_D^Bf^{-1}(y)dy \geq f^{-1}(B)(B-D)=b(B-D)\geq 0$$ (12)

となる。よって $I_2<\infty$ より (12) で $D\rightarrow+0$ とすれば (11) が得られる。

$I_2<\infty$ のときは $B\rightarrow+0$ のとき

$$\int_0^Bf^{-1}(y)dy\rightarrow 0$$

となるので、(11) より $bB\rightarrow 0$ が成り立つ。 よって、(10) で $B\rightarrow+0$ ( $b\rightarrow\infty$) と すれば (10) の左辺は $I_2$ に収束するから 右辺の積分も有限値 $I_1$ に収束し、 かつ (4) が成立することがわかる。 これで命題 4.1 が成り立つことが示された。