3 逆関数の積分

広義積分ではない通常の定積分については、 逆関数の積分と元の関数の積分には、次のような関係が成り立つ。

定理 3.1 $y=g(x)$ が $[a,b]$ 上の狭義単調な連続関数のとき、

$$\int_{g(a)}^{g(b)}g^{-1}(y)dy = \left[xg(x)\right]_a^b-\int_a^b g(x)dx$$ (5)

もし $g(x)$ が $C^1$ 級、すなわち $g(x)$ が微分可能で $g'(x)$ も 連続ならば定理 3.1 は比較的容易に証明できる。 それは、(5) の左辺を $y=g(x)$ と置換して 部分積分を利用すれば、

$$\int_{g(a)}^{g(b)}g^{-1}(y)dy =\int_a^b g^{-1}(g(x))g'(x)dx =\int_a^b xg'(x)dx =\left[xg(x)\right]_a^b-\int_a^b g(x)dx$$

となるからである。

$g(x)$ の $C^1$ 級を仮定しないと少し証明は厄介だが、 以下のようにすれば証明できる。 なお、とりあえず $g(x)$ は単調増加と仮定するが、 $g(x)$ が単調減少のときは、$-g(x)$ が単調増加となり、 $-g(x)$ について定理 3.1 が成立すれば $g(x)$ についても 成立することは容易にわかるので、単調増加の場合のみ示せばよい。

区間 $[a,b]$ の分割を $\Delta$、その最大幅を $\vert\Delta\vert$ とする:

$$\Delta :\ a=x_0<x_1<\cdots<x_N=b、 \hspace{1zw}\vert\Delta\vert=\max_{1\leq k\leq N}(x_k-x_{k-1})$$

この $\Delta$ に対し、各区間での左端の点から $g(x)$ の リーマン和 $s_1(\Delta)$ を作る:

$$s(\Delta) = \sum_{k=1}^N g(x_{k-1})(x_k-x_{k-1})$$ (6)

$g(x)$ が連続なので、良く知られているようにこれは

$$s(\Delta)\rightarrow \int_a^b g(x)dx \hspace{1zw}(N\rightarrow\infty,\ \vert\Delta\vert\rightarrow 0\mbox{ のとき})$$ (7)

に収束する。 一方、$y_k=g(x_k)$ ($0\leq k\leq N$) とし、 分割 $\Delta$ の $g$ による像を $g(\Delta)$、 その最大幅を $\vert g(\Delta)\vert$ とする:

$$g(\Delta):\ g(a)=y_0<y_1<\cdots<y_N=g(b), \hspace{1zw}\vert g(\Delta)\vert=\max_{1\leq k\leq N}(y_k-y_{k-1})$$

そして $g(\Delta)$ の各区間での右端の点から $g^{-1}(y)$ の リーマン和 $S(g(\Delta))$ を作る:

$$S(g(\Delta)) = \sum_{k=1}^N g^{-1}(y_k)(y_k-y_{k-1})$$ (8)

$g(x)$ は $[a,b]$ 上で一様連続なので、 $N\rightarrow\infty$, $\vert\Delta\vert\rightarrow 0$ に対して $\vert g(\Delta)\vert\rightarrow 0$ となり、 よってこのリーマン和 $S(g(\Delta))$ についても

$$S(g(\Delta))\rightarrow \int_{g(a)}^{g(b)} g^{-1}(y)dy \hspace{1zw}(N\rightarrow\infty,\ \vert\Delta\vert\rightarrow 0\mbox{ のとき})$$ (9)

が言える。 ここで、$s(\Delta)$ と $S(g(\Delta))$ の和は、

	$$s(\Delta) + S(g(\Delta))$$	$=$	$$\sum_{k=1}^N y_{k-1}(x_k-x_{k-1}) + \sum_{k=1}^N x_k(y_k-y_{k-1})$$
		$=$	$$\sum_{k=1}^N (x_ky_k-x_{k-1}y_{k-1}) \ =\ x_Ny_N-x_0y_0 \ =\ bg(b)-ag(a)$$

となるので、 この式で $N\rightarrow\infty$, $\vert\Delta\vert\rightarrow 0$ とすれば、 (7), (9) より (5) が得られ定理 3.1 が 証明されることになる。