6 逆関数

三角関数では、三角比の値から角の大きさを求めるための逆三角関数 $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ 等がよく用いられる。 ただし三角関数は単調ではなく、逆関数は一般には多価関数となるので、 通常は三角関数の定義域を制限して以下のように一価の関数とするのが普通である (それを多価関数の主値と呼ぶこともある)。

• $y=\sin x$ の定義域を $-\pi/2\leq x\leq\pi/2$ に制限した単調増加関数の逆関数を $x=\arcsin y$ (アークサイン、 $-1\leq y\leq 1$)
• $y=\cos x$ の定義域を $0\leq x\leq\pi$ に制限した単調減少関数の逆関数を $x=\arccos y$ (アークコサイン、 $-1\leq y\leq 1$)
• $y=\tan x$ の定義域を $-\pi/2<x<\pi/2$ に制限した単調増加関数の逆関数を $x=\arctan y$ (アークタンジェント、 $-\infty<y<\infty$)

なお、この $\arcsin y$ の「arc」とは「円弧」のことで、 角度は弧度法では単位円の弧の長さを意味するので、 「三角比 $y$ に対する弧の長さ」という意味で $\arcsin x$ のように呼ぶわけである。

もう一つ逆関数を表す流儀として $x=\sin^{-1} y$, $x=\cos^{-1} y$, $x=\tan^{-1} y$ の形の記法もよく使われるが、これは $(-1)$ 乗と紛らわしい (もちろん $\sin^{-1} y$ と $(\sin y)^{-1}$ とは全く異なる) ので、本来は使わない方がいいと思うのだが、 基礎数理の教科書 [1] では $\sin^{-1} y$ の記法を採用している¹。

双曲線関数の場合、例えば $y=\sinh x$ は、 $-\infty<x<\infty$ から $-\infty<y<\infty$ への単調増加関数なので、 定義域を制限せずにそのまま逆関数が作れる。 それを、三角関数の逆関数と同様に $x=\mathop {\rm arcsinh}y$ (ハイパボリックアークサイン)、 または $x=\sinh^{-1} y$ (インバースハイパボリックサイン) と書くようである。

ただし、この「arc」には「弧」の意味はなく、 つまり実際になんらかの曲線の長さを表しているわけではなく、 単に三角関数の逆関数に記号を合わせて「arc」と書いているだけのようである。 実際、 $(x,y)=(\cosh t,\sinh t)$ で表される双曲線の $0\leq t\leq a$ の部分の弧の長さ $\ell$ は、

$$\ell = \int_0^a\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} dt = \int_0^a\sqrt{\sinh^2 t+\cosh^2 t} dt = \int_0^a\sqrt{\cosh 2t} dt$$

となるが、この最後の積分は $a$ の簡単な式では表すことはできず、 いわゆる楕円積分になることが知られている (詳しくは [2] 参照)。

$x=\mathop {\rm arcsinh}y$ と $y=\sinh x$ は全く同じ関係を意味しているので、 逆関数 $x=\mathop {\rm arcsinh}y$ のグラフは、単に $y=\sinh x$ の見方を変えて、 横軸と縦軸を入れ換えただけのものになる (図 4)。

図 4: $x=\mathop{\rm arcsinh}y$, $x=\mathop{\rm arccosh}y$ のグラフ

$y=\cosh x$ の場合は単調ではないので、 $x\geq 0$ に制限して逆関数を考えることになる。 それを $x=\mathop {\rm arccosh}y$、あるいは $x=\cosh^{-1}y$ と書く ($y\geq 1$)。

$y=\tanh x$ は、 $-\infty<x<\infty$ 上の単調増加関数であり、 その値域は $-1<y<1$ なので、 逆関数 $x=\mathop{\rm arctanh}y=\tanh^{-1}y$ は $-1<y<1$ 上の関数となる。

図 5: $x=\mathop{\rm arctanh}y$ のグラフ

これらの逆関数は、元々の関数が指数関数の簡単な式で表されるので、 逆関数自体も比較的やさしい式で表すことができる。 例えば、$y=\sinh x$ の場合、

$$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

より、

$$e^{2x}-2ye^x-1=0,\hspace{1zw}(e^x-y)^2=y^2+1$$

となり、

$$y -e^x = -\frac{e^x+e^{-x}}{2}= -\cosh x < 0$$

なので、

$$e^x-y=\sqrt{y^2+1}$$

となり、よって、

$$\mathop{\rm arcsinh}y = \sin^{-1}y = \log\left(y+\sqrt{y^2+1}\right) \hspace{1zw}(-\infty<y<\infty)$$ (14)

となる。

$y=\cosh x$ の場合も同様で、

$$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

より、

$$e^{2x}-2ye^x+1=0,\hspace{1zw}(e^x-y)^2=y^2-1$$

となり、$x\geq 0$, $y\geq 1$ なので、

$$y -e^x = -\frac{e^x-e^{-x}}{2} = -\sinh x\leq 0$$

となり、よって

$$e^x-y=\sqrt{y^2-1}$$

より、

$$\mathop{\rm arccosh}y = \cosh^{-1}y = \log\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\hspace{1zw}(y\geq 1)$$ (15)

となる。

$y=\tanh x$ の場合は、

$$y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}, \hspace{1zw} e^{2x}(1-y)=1+y$$

であり、$-1<y<1$ より、

$$\mathop{\rm arctanh}y = \tanh^{-1}y = \frac{1}{2} \log\frac{1+y}{1-y}\hspace{1zw}(-1<y<1)$$ (16)

が得られる。

次に、それぞれの微分を計算してみよう。今求めた (14), (15), (16) を合成関数の微分で計算してもいいのであるが、ここでは逆関数の微分法

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{ \displaystyle \frac{dy}{dx} }$$

を用いて計算してみる。 まず $x=\mathop {\rm arcsinh}y$ の微分は、

$$(\mathop{\rm arcsinh}y)' =\frac{dx}{dy} =\frac{1}{ \displaystyle \frac{dy}{dx} } = \frac{1}{(\sinh x)'} = \frac{1}{\cosh x}$$

となるが、(5) を使えば $\cosh x=\sqrt{\sinh^2 x+1}=\sqrt{y^2+1}$ と書けるので、

$$(\mathop{\rm arcsinh}y)' = \frac{1}{\sqrt{y^2+1}}\hspace{1zw}(-\infty<y<\infty)$$ (17)

となる。同様に $x=\mathop {\rm arccosh}y$ の微分は、

$$(\mathop{\rm arccosh}y)' = \frac{1}{(\cosh x)'} = \frac{1}{\sinh x}$$

であり、$x\geq 0$ と (5) より $\sinh x=\sqrt{\cosh^2 x-1}=\sqrt{y^2-1}$ となるので、

$$(\mathop{\rm arccosh}y)' = \frac{1}{\sqrt{y^2-1}}\hspace{1zw}(y>1)$$ (18)

が得られる。 $x=\mathop {\rm arctanh}y$ は、

$$(\mathop{\rm arctanh}y)' = \frac{1}{(\tanh x)'} = \cosh^2 x$$

であり、(5) より

$$(\mathop{\rm arctanh}y)' = \frac{1}{1-y^2}\hspace{1zw}(-1<y<1)$$ (19)

となる。 この (17), (18), (19) も、 逆三角関数の導関数

$$\begin{eqnarray*}(\arcsin y)' &=& \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\hspace{1zw}(-1<y<1), ... ... (\arctan y)' &=& \frac{1}{1+y^2}\hspace{1zw}(-\infty<y<\infty)\end{eqnarray*}$$

に似た形の式になっていることがわかる。

逆にこれらを積分の公式の形に書き直せば、$a>0$ として、

$$\int\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C \hspace{1zw}(-\infty<x<\infty)$$ (20)

$$\int\frac{dx}{x^2-a^2} = \left\{\begin{array}{ll} \dis... ...{\rm arctanh}\frac{a}{x} + C & (x<-a, x>a) \end{array}\right.$$ (21)

$$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C \hspace{1zw}(-a<x<a)$$ (22)

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \mathop{\rm arcsinh}\frac{x}{a} + C \hspace{1zw}(-\infty<x<\infty)$$ (23)

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \left\{\begin{array}{ll... ...}\left(-\frac{x}{a}\right) + C & (x<-a),\\ \end{array}\right.$$ (24)

のようになる。 これらにより、 $1/(\mbox{2 次式})$, $1/\sqrt{(\mbox{2 次式})}$ の形の積分は、 その 2 次式が完全平方形でない限りこれらのいずれかの形に帰着されることになる。

これらの公式の大半は $x=at$, $x=-at$ などの置換により得られるが、 (21) は、$\vert x\vert<a$ の場合は $\vert x/a\vert<1$ であり、 合成関数の微分により、

$$\left(\mathop{\rm arctanh}\frac{x}{a}\right)' = \frac{1}{1-(x/a)^2} \frac{1}{a} = -\frac{a}{x^2-a^2}$$

より (21) の前者が得られ、 また $\vert x\vert>a$ の場合は $\vert a/x\vert<1$ であり、

$$\left(\mathop{\rm arctanh}\frac{a}{x}\right)' = \frac{1}{1-(a/x)^2} \left(-\frac{a}{x^2}\right) = -\frac{a}{x^2-a^2}$$

となるので (21) の後者が得られる。