5 微積分

三角関数の微分の公式は以下の通りである。
\begin{displaymath}
(\sin x)'=\cos x,\hspace{1zw}
(\cos x)'= -\sin x,\hspace{1zw}
(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\end{displaymath} (10)

双曲線関数の微分も、これによく似た公式が成り立つ。

\begin{displaymath}
(\sinh x)'= \cosh x,\hspace{1zw}
(\cosh x)'= \sinh x,\hspace{1zw}
(\tanh x)'= \frac{1}{\cosh^2 x}\end{displaymath} (11)

(11) の最初の 2 つは $(e^x)'=e^x$, $(e^{-x})'=-e^{-x}$ から容易にわかる。$\tanh x$ の微分も、

\begin{eqnarray*}(\tanh x)'
&=&
\left(\frac{\sinh x}{\cosh x}\right)'
=
\fr...
...&
\frac{\cosh^2 x-\sinh^2 x}{\cosh^2 x}
=
\frac{1}{\cosh^2 x}\end{eqnarray*}


として得られる。

積分の公式も、三角関数の場合は (10) から

\begin{displaymath}
\int\sin x dx = -\cos x+C,\hspace{1zw}
\int\cos x dx = \sin x+C
\end{displaymath}

となるように、双曲線関数の積分は (11) より
\begin{displaymath}
\int\sinh x dx = \cosh x+C,\hspace{1zw}
\int\cosh x dx = \sinh x+C\end{displaymath} (12)

となる。 $\tan x$ の積分は、置換積分の公式
\begin{displaymath}
\int\frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log\vert f(x)\vert+C
\end{displaymath}

を利用すれば、
\begin{displaymath}
\int\tan x dx
= \int\frac{\sin x}{\cos x} dx
= -\int\frac{(\cos x)'}{\cos x} dx
= -\log\vert\cos x\vert+C
\end{displaymath}

となるから、$\tanh x$ の積分も同様に
\begin{displaymath}
\int\tanh x dx
= \int\frac{\sinh x}{\cosh x} dx
= \int\frac{(\cosh x)'}{\cosh x} dx
= \log\vert\cosh x\vert+C
\end{displaymath}

となるが、$\cosh x>0$ であるから、
\begin{displaymath}
\int\tanh x dx = \log(\cosh x)+C\end{displaymath} (13)

となる。

竹野茂治@新潟工科大学
2010年3月19日