4 sin x 等の定積分

これは、$-$ の間違いの問題とは関係ないが、 ついでにきれいな定積分の関係式

$$\int_0^{\pi/2}\sin\theta d\theta = \int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta = 1$$ (3)

も図形的に説明できないかと考えた。 これは、 $y = \sin\theta$ のグラフの下の部分の面積を指している (図 6)。

図 6: $\sin \theta$ の定積分

図 7: 区分求積

式 (3) が成り立つことは、 もちろん不定積分を計算すれば容易にわかるが、 ここでは不定積分を利用せず、それを図形的に説明することを考える。

この面積は、横幅を $n$ 等分して、その分点を $\theta_k$:

$$\Delta\theta = \frac{\pi}{2n}, \hspace{1zw}\theta_k = k\Delta\theta\hspace{1zw}(k=0,1,2,\ldots,n)$$

とするとき、$n$ が大きければこの面積は 短冊状の長方形の面積の和で近似できる (区分求積法、図 7):

$$\int_0^{\pi/2}\sin\theta d\theta \approx \sum_{k=0}^{n-1} (\sin\theta_k)\Delta\theta$$ (4)

この、 $(\sin\theta_k)\Delta\theta$ であるが、 図 4 の $\mathrm{QR}$ は、 (2) より

$$\mathrm{QR} = -\Delta x \approx (\sin\theta)\Delta\theta$$

となるので、 図 2 の $\Delta x$ の部分の絶対値である $x$ 軸上の横幅が、この一つ一つの短冊の面積に相当することになる。

よって、$\Delta \theta$ への分割を図 8 のように 円の中心角の分割に置き直して考えれば、 $\sin \theta$ の定積分 (面積) を $\theta =0$ から加えていくのは、 図 8 の各角度に対する $x$ 軸上の幅を U から S まで 加えていくことに対応する。

図 8: 円の中心角の分割

図 9: 定積分が表すもの

よって、$\sin \theta$ の $\theta =0$ から $\theta=\pi/2$ までの積分は、 単位円の $x$ 軸の右端の 1 のところから、 $x$ 軸の左端の 0 のところまでの横幅を求めることに対応する。 ゆえにその積分は 1 となる。

同様に、図 4 $\Delta x$ の代わりに $\Delta y$ で考えれば、

$$\Delta y \approx (\cos\theta) \Delta\theta$$

より $\cos \theta$ の定積分が $y$ 軸上の幅に対応するので、 $\cos \theta$ の定積分は図 8 O から T までの幅を 考えていくことに対応し、結局

$$\int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta = 1$$

がわかる。 今の議論を、$\pi/2$ まで伸ばさずに途中で止めて、 $0$ から $\alpha$ までの定積分を考えれば よりはっきりするが (図 9)、 これまでの考察より

$$\int_0^\alpha\sin\theta d\theta = 1-\cos\alpha, \hspace{1zw}\int_0^\alpha\cos\theta d\theta = \sin\alpha$$

が得られることになる。

さらについでに、図 2 の、 底辺が $-\Delta x$ で高さが $\sin \theta$ (= Q の $y$ 座標) の縦長の長方形の面積を考えれば、 この長方形の面積は

$$(\sin\theta)(-\Delta x) \approx (\sin^2\theta)\Delta\theta$$

になるので、その和は $\sin^2\theta$ の定積分に相当し、 それはこのような長方形の和である円の一部分の面積に対応する (図 8 の網掛け部分)。よって、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_0^\alpha\sin^2\theta d\theta = \mbox{(円の SUV ... ...OSV)}} \ &=& \frac{\alpha}{2} - \frac{\cos\alpha\sin\alpha}{2}\end{eqnarray*}$$

となる。 実際、不定積分を用いて計算すれば、

$$\int_0^\alpha\sin^2\theta d\theta = \int_0^\alpha\left(\frac... ...\sin 2\alpha =\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}\cos\alpha\sin\alpha$$

となり、上の結果に等しいことがわかる。 これ以外にも、図形で説明できる同種の定積分が隠れているかもしれない。