2 sin x, cos x の微分

まず、関数 $y=f(x)$ の導関数の定義は
\begin{displaymath}
y'= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{displaymath}

である。ここで、$\Delta y$$x$ の増加分 $\Delta x$ に対する $y$ の増加分を表していて、$f$ を使って書き表すと、 $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)$ となる。

さて、三角関数 $\cos \theta $$\sin \theta $ ($\theta$ の単位はラジアン) の値は、単位円の中心角 $\theta$ に対する円周上の点の $x$ 座標と $y$ 座標で 与えられることを思い出す (図 1)。

図 1: $\sin \theta $, $\cos \theta $ と単位円
\includegraphics[height=70mm]{data/unit.eps}
図 2: $\Delta \theta $, $\Delta x$, $\Delta y$
\includegraphics[height=70mm]{data/delta.eps}

よって、$\cos \theta $$\sin \theta $ の導関数は、それぞれ

\begin{displaymath}
\Delta x = \cos(\theta+\Delta\theta)-\cos\theta,\hspace{1zw}
\Delta y = \sin(\theta+\Delta\theta)-\sin\theta
\end{displaymath}

$\Delta \theta $ との比の極限によって得られる (図 2):
\begin{displaymath}
(\cos\theta)' = \lim_{\Delta\theta\rightarrow 0}\frac{\Delta...
... \lim_{\Delta\theta\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta\theta}
\end{displaymath}

2 上では $\Delta x$$x$ 方向の移動幅 (負の値)、$\Delta y$$y$ 方向の移動幅 として表されていて、$\Delta \theta $ は角度変化分であるが、弧度法の角度と 弧の長さの関係から、$\Delta \theta $ は移動した分の弧の長さにも 等しいことがわかる。

そして、$\Delta \theta $ を 0 に近づけて行くとき、$\Delta \theta $ が 0 に 近ければ、この $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta \theta $ (図 2) は、 弧の部分を、点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ での接線で置き換えた図で 考えたもので近似できる (図 3)。

図 3: 弧を接線で近似
\includegraphics[height=70mm]{data/approx.eps}
図 4: 三角形 PQR
\includegraphics[height=70mm]{data/enlarge}
この、接線で近似した図 4 の三角形 PQR を考える。 この三角形 PQR は、$\angle$R が直角の直角三角形であり、 $\angle$P は $\theta$ に等しく
\begin{displaymath}
% latex2html id marker 877
\mathrm{PR}\approx\Delta y,
\hsp...
...ig:enlarge} では、}
\Delta y>0, \Delta x<0, \Delta\theta >0)
\end{displaymath}

となっている。よって、
\begin{displaymath}
\frac{\Delta x}{\Delta\theta}\approx
-\frac{\mathrm{QR}}{...
...elta\theta}\approx
\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PQ}}=\cos\theta\end{displaymath} (2)

となり、 $\Delta\theta\rightarrow 0$ のとき、この近似は厳密に等しい 等号になると考えられる。ゆえに
\begin{displaymath}
(\cos\theta)'=\lim_{\Delta\theta\rightarrow 0}
\frac{\Delta ...
...a\theta\rightarrow 0}
\frac{\Delta y}{\Delta\theta}=\cos\theta
\end{displaymath}

となる。

竹野茂治@新潟工科大学
2014年7月2日