6 4 回微分して元に戻るもの

3 回微分して元に戻るものを求めるのは少し難しいが、 4 回微分して元に戻るものは、

y = C₁e^x + C₂e^-x + C₃cos x + C₄sin x (10)

となる。 なお、この式の最初の 2 つの e^x , e^-x は、 それぞれ 1 回、2 回微分して元に戻るものになっている。 この (10) を示すことは、 実質的に 4 階の微分方程式

y⁽⁴⁾ = y (11)

を解くことになるわけであるが、 しかし (10) を示すためには、まず

y'' = - y (12)

となる y が

y = C₁cos x + C₂sin x (13)

となることを示すことが必要となる ((10) の後半部分) ので、まずこれを考える。 これは、5 節のように結果から定数を消す方法で考える。

y がもし (13) であるとすると、

$${\frac{{y}}{{\cos x}}}$$ = C₁ + C₂tan x

であるので、これを微分すれば、

$$\left(\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right.$$$${\frac{{y}}{{\cos x}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right){^\prime}$$ = C₂(tan x)' = $${\frac{{C_2}}{{\cos^2 x}}}$$

となって C₁ が消え、この式を両辺 cos²x 倍して微分すれば、

$$\left\{\vphantom{\left(\frac{y}{\cos x}\right)'\cos^2 x}\right. \left(\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right. {\frac{{y}}{{\cos x}}} \left.\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right){^\prime} \left.\vphantom{\left(\frac{y}{\cos x}\right)'\cos^2 x}\right\}{^\prime}$$ (14)

となって C₂ も消えることになる。

よって、まずは逆に (12) から (14) を導く。

$$\left(\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right.$$$${\frac{{y}}{{\cos x}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right){^\prime}$$ = $${\frac{{y'\cos x-y(\cos x)'}}{{(\cos x)^2}}}$$ = $${\frac{{y'\cos x+y\sin x}}{{\cos^2 x}}}$$

となるので、これを cos²x 倍すれば

$$\left(\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right.$$$${\frac{{y}}{{\cos x}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right){^\prime}$$cos²x = y'cos x + y sin x

となる。この両辺を微分すると、

$$\left\{\vphantom{\left(\frac{y}{\cos x}\right)'\cos^2 x}\right. \left(\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right. {\frac{{y}}{{\cos x}}} \left.\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right){^\prime} \left.\vphantom{\left(\frac{y}{\cos x}\right)'\cos^2 x}\right\}{^\prime}$$

= (y'cos x + y sin x)' = y''cos x + y'(cos x)' + y'sin x + y(sin x)'

= y''cos x - y'sin x + y'sin x + y cos x = (y'' + y)cos x

となるので、y が (12) を満たしていれば確かに (14) が成り立つことになる。 そして (14) ならば

$$\left(\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right.$$$${\frac{{y}}{{\cos x}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right){^\prime}$$cos²x = C₁

となるから、両辺 cos²x で割って、

$$\left(\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right.$$$${\frac{{y}}{{\cos x}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{y}{\cos x}}\right){^\prime}$$ = $${\frac{{C_1}}{{\cos^2 x}}}$$

であるが、右辺は C₁tan x の微分であるので、 左辺から右辺を引き算すれば、

$$\left(\vphantom{\frac{y}{\cos x} - C_1\tan x}\right.$$$${\frac{{y}}{{\cos x}}}$$ - C₁tan x$$\left.\vphantom{\frac{y}{\cos x} - C_1\tan x}\right){^\prime}$$ = 0

となるので、

$${\frac{{y}}{{\cos x}}}$$ - C₁tan x = C₂

となる。よってこの両辺を cos x 倍すれば、

y = C₁tan x cos x + C₂cos x = C₁sin x + C₂cos x

となって確かに (13) が得られることになる。

そして、これを使えば、 4 回微分して元に戻るもの (11) の場合も容易に求めることができる。 まず、(11) の両辺に y'' を足せば、

y⁽⁴⁾ + y'' = y'' + y

であり、左辺は (y'' + y)'' に等しいので、 これは (y'' + y) が 2 回微分すると元に戻ることを意味し、 よって 4 節の結果により、

y'' + y = C₁e^x + C₂e^-x (15)

であることがわかる。

一方、(11) の両辺から y'' を引けば、

y⁽⁴⁾ - y'' = - y'' + y = - (y'' - y)

となるので、 これは、(y'' - y) が (12) を満たすことを意味し、 よって (13) より、

y'' - y = C₃cos x + C₄sin x (16)

となる。 この (15) から (16) を引いて 2 で割れば、 結局

y = $${\frac{{C_1}}{{2}}}$$e^x + $${\frac{{C_2}}{{2}}}$$e^-x - $${\frac{{C_3}}{{2}}}$$cos x - $${\frac{{C_4}}{{2}}}$$sin x

となって (10) が得られることになる。