4 2 回微分して戻るもの

ついでに、次のような問題も考えてみよう。

「2 回微分して元に戻るものは、 y = C₁e^x + C₂e^-x の形の式のみ」

この問題は、2 階の (定数係数線形の) 微分方程式

y'' = y (4)

を解けばいいわけであるが、 ここでは、標準的な定数係数線形微分方程式の解法、 およびその理論は用いず、 (4) から直接

y = C₁e^x + C₂e^-x (5)

を導くいくつかの方法を紹介する。

(4) の両辺に y' を加えると、

y'' + y' = y' + y

となるが、左辺は (y' + y)' であるから、z = y' + y とすれば、これは

z' = z

を意味する。 2, 3 節の結果により これは z = C₁e^z を意味するので、よって、

y' + y = C₁e^x (6)

が得られる。

この (6) を、 1 階線形微分方程式の解法と同様の変形をしてみよう。 (6) の両辺を e^x 倍すると、

y'e^x + ye^x = C₁e^2x

となるが、この左辺は y'e^x + y(e^x)' = (ye^x)' に等しい。 (e^2x)' = 2e^2x なので、この両辺は、

(ye^x)' = $$\left(\vphantom{\frac{C_1}{2}e^{2x}}\right.$$$${\frac{{C_1}}{{2}}}$$e^2x$$\left.\vphantom{\frac{C_1}{2}e^{2x}}\right){^\prime}$$

と変形できる。よって

$$\left(\vphantom{ye^x-\frac{C_1}{2}e^{2x}}\right.$$ye^x - $${\frac{{C_1}}{{2}}}$$e^2x$$\left.\vphantom{ye^x-\frac{C_1}{2}e^{2x}}\right){^\prime}$$ = 0

となるので、(3) によりこのかっこの中味が定数となり、

ye^x = $${\frac{{C_1}}{{2}}}$$e^2x + C₂

となる。よってこの両辺を e^x で割れば

y = $${\frac{{C_1}}{{2e^x}}}$$e^2x + $${\frac{{C_2}}{{e^x}}}$$ = $${\frac{{C_1}}{{2}}}$$e^x + C₂e^-x

となり、(5) が得られることになる。

ただ、これはいかにも少し作為的にも見えるが、 (6) を微分方程式として解くのではなく、 もう一本同等のものを導いて利用する、という方法もある。

(4) の両辺から y' を引くと、

y'' - y' = - y' + y = - (y' - y)

となるので、w = y' - y とすれば、これは w' = - w を意味し、 3 節の結果によりここから w = C₂e^-x 、すなわち

y' - y = C₂e^-x (7)

が導かれる。 よって、(6) から (7) を引いて 2 で割れば

y = $${\frac{{C_1}}{{2}}}$$e^x - $${\frac{{C_2}}{{2}}}$$e^-x

となり、(5) が得られる。

この (6), (7) を導く方法は、 微分演算子 D = ' によって (4) を、

D²y = y,   (D² -1)y = 0,   (D + 1)(D - 1)y = 0,   (D - 1)(D + 1)y = 0

のように変形した考察、すなわちいわゆる演算子法と実質的に同等である。