2 変数分離形の解法と似た方法

(1) の微分方程式の解法として、 変数分離法というものがある。 実質的にそれと同等のものを以下に説明する。

ただし、以下の議論では、

$$\Rightarrow$$ (3)

が成り立つことは利用する。 この事実は、厳密には平均値の定理により証明されるものであるが、 感覚的にも「変化率が 0 ならば定数」という事実として 納得できるものだろうと思う。

(1) の両辺を y で割れば

$${\frac{{y'}}{{y}}}$$ = 1

となるが、この左辺は、

$${\frac{{d}}{{dx}}}$$$$\left(\vphantom{\log\vert y\vert}\right.$$log| y|$$\left.\vphantom{\log\vert y\vert}\right)$$

を合成関数の微分を用いて微分したものに等しい。よって、

$${\frac{{d}}{{dx}}}$$$$\left(\vphantom{\log\vert y\vert}\right.$$log| y|$$\left.\vphantom{\log\vert y\vert}\right)$$ = 1

となるが、積分を使わずに話を進めるとすると、1 = (x)' と見て、

$${\frac{{d}}{{dx}}}$$$$\left(\vphantom{\log\vert y\vert}\right.$$log| y|$$\left.\vphantom{\log\vert y\vert}\right)$$ = (x)',   $$\left(\vphantom{\log\vert y\vert-x}\right.$$log| y| - x$$\left.\vphantom{\log\vert y\vert-x}\right){^\prime}$$ = 0

となるので、よって (3) より log| y| - x が定数であることになる。 それを C₁ とすれば、

log| y| = C₁ + x,   | y| = e^C₁+x = e^C₁e^x

となるので、y は

y = $$\pm$$e^C₁e^x = C₂e^x

と表され、これにより (2) が得られることになる。

ただし、厳密には最初に y で割るところに少し問題がないわけではなく、 y が 0 の場合の議論を行う必要があるが、 y が 1 点でも 0 でない箇所があれば、 自動的に上の議論により C $\neq$ 0 の (2) になることがわかるので、よってどの x でも 0 にはならない。

つまり、逆にある 1 点で 0 になるような y は、 すべての x で 0 でなければならないことになり、それは、 (2) の C = 0 に対応する。 よって、いずれにせよ (1) を満たす y は、 すべて (2) で表されることになる。