3 結果から考える方法

(2) であることを示す別の方法として、 y/e^x (= ye^-x ) が定数であることを示す、というものもある。 この商を微分してみると、

$$\left(\vphantom{\frac{y}{e^x}}\right.$$$${\frac{{y}}{{e^x}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{y}{e^x}}\right){^\prime}$$ = $${\frac{{y'e^x-y(e^x)'}}{{(e^x)^2}}}$$ = $${\frac{{y'e^x-ye^x}}{{(e^x)^2}}}$$ = $${\frac{{y'-y}}{{e^x}}}$$

となるが、y が (1) を満たしていればこの式は 0 になる。 なお、商の微分を使う代わりに、積に直して、

$$\left(\vphantom{\frac{y}{e^x}}\right.$$$${\frac{{y}}{{e^x}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{y}{e^x}}\right){^\prime}$$ = (ye^-x)' = y'e^-x + y(e^-x)' = y'e^-x + y(- e^-x) = (y' - y)e^-x

とする方法もある。

いずれにせよ、導関数が 0 になるので、 (3) により y/e^x が定数となり、 よって (2) が得られることになる。

この方法の方が 2 節の方法よりもシンプルであるし、 例えば次のように発展したもの:

「微分したものが元の関数の定数倍、すなわち y' = ay となるものは何か」

もこの方法ならばすぐに解ける。

(e^ax)' = ae^ax であるので、 その解は y = Ce^ax であることが想像されるが、

$$\left(\vphantom{\frac{y}{e^{ax}}}\right.$$$${\frac{{y}}{{e^{ax}}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{y}{e^{ax}}}\right){^\prime}$$ = (ye^-ax)' = y'e^-ax + y(- ae^-ax) = (y' - ay)e^-ax = 0

となるので、確かに y/e^ax = C となり、 y = Ce^ax が言える。