4 公式による計算

本節では、(10) による $\hat{f}_k$ の計算例を紹介する。

$$\begin{eqnarray*}\hat{f}_0 &=& t\,\frac{\sin t}{t} \ =\ \sin t, \\ \hat{f}_... ...t) \\ &=& t^3(t^{-3}\sin t-t^{-2}\cos t) \ =\ \sin t-t\cos t\end{eqnarray*}$$

となる。なお、$t^3$ と $-t^{-1}$ をまとめて先に $-t^{-2}$ としなかった のは、次の $\hat{f}_2$ の計算のためであり、この $t^3$ を除いた部分は 次の $\hat{f}_2$ で利用できる。

$$\begin{eqnarray*}\hat{f}_2 &=& t^5\left(-\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\right)^2(... ...{-5}-t^{-3})\sin t-3t^{-4}\cos t\} \ =\ (3-t^2)\sin t-3t\cos t\end{eqnarray*}$$

もちろん、順に計算する場合は、上と同等だがむしろ (9) より 得られる漸化式

$$\hat{f}_{k+1}=-t^{2k+2}\left(\frac{\hat{f}_k}{t^{2k+1}}\right)'$$

を使う、という手もある。

$$\begin{eqnarray*}\hat{f}_3 &=& -t^6(t^{-5}\hat{f}_2)' \ =\ -t^6((3t^{-5}-t^... ...^{-5})\cos t\} \\ &=& (105-45t^2+t^4)\sin t+(-105t+10t^3)\cos t\end{eqnarray*}$$

等となる。

これらの微分による計算と、[1] でやったような (4) の漸化式による計算を比較すると、 漸化式の方は微分計算をしないで代入だけで済む分計算は速い。 しかし、漸化式の方は漸化式の公式を確認しながら計算する必要があるが、 こちらの微分計算の方は公式は単純なので、機械的に順に計算して いけるところが少しメリットと言えるかもしれない。