7 漸化式

Fk , Gk のラプラス逆変換を

$\displaystyle \mathcal {L}$-1[Fk] = fk(t),   $\displaystyle \mathcal {L}$-1[Gk] = gk(t)

とし、この fk , gk に対する漸化式を作って、 そこから fk , gk を順に計算する、という方法もある。 漸化式にもいくつかあり、それらをここで紹介し、 計算量の比較などを行ってみる。

まずは、(4) を利用したものを考える。

$\displaystyle \mathcal {L}$[fk] = $\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$,   $\displaystyle \mathcal {L}$[gk] = $\displaystyle {\frac{{s}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$

であるので、(4) より、
$\displaystyle \mathcal {L}$[tfk] = - $\displaystyle {\frac{{d}}{{ds}}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2(k+1)s}}{{(s^2+1)^{k+2}}}}$ = (2k + 2)Gk+1,  
$\displaystyle \mathcal {L}$[tgk] = - $\displaystyle {\frac{{d}}{{ds}}}$$\displaystyle {\frac{{s}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$ + $\displaystyle {\frac{{2(k+1)s^2}}{{(s^2+1)^{k+2}}}}$  
  = - Fk + $\displaystyle {\frac{{2(k+1)(s^2+1)-2(k+1)}}{{(s^2+1)^{k+2}}}}$  
  = - Fk +2(k + 1)Fk -2(k + 1)Fk+1 = (2k + 1)Fk - (2k + 2)Fk+1  

よって、

tfk = (2k + 2)gk+1,   tgk = (2k + 1)fk - (2k + 2)fk+1

となるので、よって
fk+1 = $\displaystyle {\frac{{2k+1}}{{2k+2}}}$fk - $\displaystyle {\frac{{t}}{{2k+2}}}$gk,   gk+1 = $\displaystyle {\frac{{t}}{{2k+2}}}$fk (11)
が得られる。f0 , g0 は、

f0 = $\displaystyle \mathcal {L}$-1$\displaystyle \left[\vphantom{\frac{1}{s^2+1}}\right.$$\displaystyle {\frac{{1}}{{s^2+1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{s^2+1}}\right]$ = sin t,   g0 = $\displaystyle \mathcal {L}$-1$\displaystyle \left[\vphantom{\frac{s}{s^2+1}}\right.$$\displaystyle {\frac{{s}}{{s^2+1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{s}{s^2+1}}\right]$ = cos t

であるから、(11) を用いて順に、f1 , g1 , f2 , g2 等を計算できる。 なお、(11) の係数の分母を消すために、 この式の両辺に 2k+1(k + 1)! をかけると、

2k+1(k + 1)!fk+1 = (2k + 1)2kk!fk - t2kk!gk,   2k+1(k + 1)!gk+1 = t2kk!fk

となるので、 $ \hat{{f}}_{k}^{}$ = 2kk!fk , $ \hat{{g}}_{k}^{}$ = 2kk!gk とすれば、
$\displaystyle \hat{{f}}_{{k+1}}^{}$ = (2k + 1)$\displaystyle \hat{{f}}_{k}^{}$ - t$\displaystyle \hat{{g}}_{k}^{}$,   $\displaystyle \hat{{g}}_{{k+1}}^{}$ = t$\displaystyle \hat{{f}}_{k}^{}$ (12)
となり、(11) より多少式はやさしくなる。 $ \hat{{f}}_{0}^{}$ = f0 , $ \hat{{g}}_{0}^{}$ = g0 より、 具体的に $ \hat{{f}}_{k}^{}$ , $ \hat{{g}}_{k}^{}$ を求めてみると、
$\displaystyle \hat{{f}}_{1}^{}$ = $\displaystyle \hat{{f}}_{0}^{}$ - t$\displaystyle \hat{{g}}_{0}^{}$ = sin t - t cos t,  
$\displaystyle \hat{{g}}_{1}^{}$ = t$\displaystyle \hat{{f}}_{0}^{}$ = t sin t,  
$\displaystyle \hat{{f}}_{2}^{}$ = 3$\displaystyle \hat{{f}}_{1}^{}$ - t$\displaystyle \hat{{g}}_{1}^{}$ = 3 sin t - 3t cos t - t2sin t,  
$\displaystyle \hat{{g}}_{2}^{}$ = t$\displaystyle \hat{{f}}_{1}^{}$ = t sin t - t2cos t,  
$\displaystyle \hat{{f}}_{3}^{}$ = 5$\displaystyle \hat{{f}}_{2}^{}$ - t$\displaystyle \hat{{g}}_{2}^{}$ = 15 sin t - 15t cos t - 6t2sin t + t3cos t,  
$\displaystyle \hat{{g}}_{3}^{}$ = t$\displaystyle \hat{{f}}_{2}^{}$ = 3t sin t - 3t2cos t - t3sin t,  
$\displaystyle \hat{{f}}_{4}^{}$ = 7$\displaystyle \hat{{f}}_{3}^{}$ - t$\displaystyle \hat{{g}}_{3}^{}$ = 105 sin t - 105t cos t - 45t2sin t + 10t3cos t + t4sin t,  
$\displaystyle \hat{{g}}_{4}^{}$ = t$\displaystyle \hat{{f}}_{3}^{}$ = 15t sin t - 15t2cos t - 6t3sin t + t4cos t  

のようになる。

さらに、(12) から $ \hat{{g}}_{k}^{}$ , あるいは $ \hat{{f}}_{k}^{}$ を 消去して、3 項漸化式を導くこともできる。 (12) より、

$\displaystyle \hat{{f}}_{{k+2}}^{}$ = (2k + 3)$\displaystyle \hat{{f}}_{{k+1}}^{}$ - t$\displaystyle \hat{{g}}_{{k+1}}^{}$ = (2k + 3)$\displaystyle \hat{{f}}_{{k+1}}^{}$ - t2$\displaystyle \hat{{f}}_{k}^{}$, (13)
$\displaystyle \hat{{g}}_{{k+2}}^{}$ = t$\displaystyle \hat{{f}}_{{k+1}}^{}$ = (2k + 1)t$\displaystyle \hat{{f}}_{k}^{}$ - t2$\displaystyle \hat{{g}}_{k}^{}$ = (2k + 1)$\displaystyle \hat{{g}}_{{k+1}}^{}$ - t2$\displaystyle \hat{{g}}_{k}^{}$ (14)

のようになる。fk , gk の一方のみを計算したい場合は、 これらを用いる方が多少計算は速くなる。 $ \hat{{f}}_{0}^{}$ = sin t , $ \hat{{f}}_{1}^{}$ = sin t - t cos t であるので、
$\displaystyle \hat{{f}}_{2}^{}$ = 3$\displaystyle \hat{{f}}_{1}^{}$ - t2$\displaystyle \hat{{f}}_{0}^{}$ = 3 sin t - 3t cos t - t2sin t,  
$\displaystyle \hat{{f}}_{3}^{}$ = 5$\displaystyle \hat{{f}}_{2}^{}$ - t2$\displaystyle \hat{{f}}_{1}^{}$ = 5(3 sin t - 3t cos t - t2sin t) - t2(sin t - t cos t)  
  = 15 sin t - 15t cos t - 6t2sin t + t3cos t,  
$\displaystyle \hat{{f}}_{4}^{}$ = 7$\displaystyle \hat{{f}}_{3}^{}$ - t2$\displaystyle \hat{{f}}_{2}^{}$  
  = 7(15 sin t - 15t cos t - 6t2sin t + t3cos t) - t2(3 sin t - 3t cos t - t2sin t)  
  = 105 sin t - 105t cos t - 45t2sin t + 10t3cos t + t4sin t  

のように計算できる。

さて、漸化式は (12) 以外にも成り立つ。 例えば、(5) を用いれば、

$\displaystyle \mathcal {L}$[fk'] = s$\displaystyle \mathcal {L}$[fk] - fk(0)

となるが、k $ \geq$ 0 に対して fk t の奇関数である ((13) と $ \hat{{f}}_{0}^{}$ , $ \hat{{f}}_{1}^{}$ より 帰納的に示すことができる) から fk(0) = 0 であり、

s$\displaystyle \mathcal {L}$[fk] = s$\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$ = $\displaystyle \mathcal {L}$[gk]

なので、
fk' = gk   (k $\displaystyle \geq$ 0) (15)
がわかる。同様に (5) より

$\displaystyle \mathcal {L}$[gk'] = s$\displaystyle \mathcal {L}$[gk] - gk(0)

となるが、(11) より k $ \geq$ 1 ならば gk(0) = 0 であることががわかるので、
s$\displaystyle \mathcal {L}$[gk] = $\displaystyle {\frac{{s^2}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{(s^2+1)-1}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{k}}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$  
  = $\displaystyle \mathcal {L}$[fk-1] - $\displaystyle \mathcal {L}$[fk]  

より、
gk' = fk-1 - fk   (k $\displaystyle \geq$ 1) (16)
が成り立つ。 しかし、この (15) の両辺の添え字は同じであるし、 (16) にも添え字の同じものが含まれているので、 この 2 本から fk , gk を順に計算できる形にはなっていないが、 これらに (11) を組み合わせることで、 一応順に計算できるような形に変形できる。 例えば、(15), (16) に (11) を代入して、
fk' = $\displaystyle {\frac{{t}}{{2k}}}$fk-1,  
gk' = fk-1 - $\displaystyle {\frac{{2k-1}}{{2k}}}$fk-1 + $\displaystyle {\frac{{t}}{{2k}}}$gk-1 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2k}}}$(fk-1 + tgk-1)  

または、$ \hat{{f}}_{k}^{}$ , $ \hat{{g}}_{k}^{}$ で書き直した式:
$\displaystyle \hat{{f}}_{k}{^\prime}$ = t$\displaystyle \hat{{f}}_{{k-1}}^{}$,   $\displaystyle \hat{{g}}_{k}{^\prime}$ = $\displaystyle \hat{{f}}_{{k-1}}^{}$ + t$\displaystyle \hat{{g}}_{{k-1}}^{}$ (17)
を得ることができる。 しかし、この式から fk , gk を計算するには、 積分計算が必要になるが、 そこには tjsin t , tjcos t の形の積分が含まれるので、 必ずしも計算は易しくはない。

例えば、

$\displaystyle \hat{{f}}_{1}^{}$ = $\displaystyle \int_{0}^{t}$x$\displaystyle \hat{{f}}_{0}^{}$(x)dx = $\displaystyle \int_{0}^{t}$x sin xdx = - t cos t + $\displaystyle \int_{0}^{t}$cos xdx  
  = - t cos t + sin t,  
$\displaystyle \hat{{g}}_{1}^{}$ = $\displaystyle \int_{0}^{t}$($\displaystyle \hat{{f}}_{0}^{}$(x) + x$\displaystyle \hat{{g}}_{0}^{}$(x))dx = $\displaystyle \int_{0}^{t}$(sin x + x cos x)dx = $\displaystyle \int_{0}^{t}$(x sin x)'dx  
  = t sin t,  
$\displaystyle \hat{{f}}_{2}^{}$ = $\displaystyle \int_{0}^{t}$x$\displaystyle \hat{{f}}_{1}^{}$(x)dx = $\displaystyle \int_{0}^{t}$(x sin x - x2cos x)dx  
  = $\displaystyle \int_{0}^{t}$x sin xdx - $\displaystyle \left(\vphantom{t^2\sin t-\int_0^t2x\sin xdx}\right.$t2sin t - $\displaystyle \int_{0}^{t}$2x sin xdx$\displaystyle \left.\vphantom{t^2\sin t-\int_0^t2x\sin xdx}\right)$  
  = - t2sin t + $\displaystyle \int_{0}^{t}$3x sin xdx = - t2sin t - 3t cos t + $\displaystyle \int_{0}^{t}$3 cos xdx  
  = - t2sin t - 3t cos t + 3 sin t,  
$\displaystyle \hat{{g}}_{2}^{}$ = $\displaystyle \int_{0}^{t}$($\displaystyle \hat{{f}}_{1}^{}$(x) + x$\displaystyle \hat{{g}}_{1}^{}$(x))dx = $\displaystyle \int_{0}^{t}$(sin x - x cos x + x2sin x)dx  
  = - t2cos t + $\displaystyle \int_{0}^{t}$(sin x + x cos x)dx = - t2cos t + $\displaystyle \int_{0}^{t}$(x sin x)'dx  
  = - t2cos t + t sin t  

のようになる。

最後にもうひとつの漸化式を紹介する。

$\displaystyle \mathcal {L}$[fk+1] = $\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{k+2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{s^2+1}}}$$\displaystyle \mathcal {L}$[fk] = $\displaystyle \mathcal {L}$[sin t]$\displaystyle \mathcal {L}$[fk], (18)
$\displaystyle \mathcal {L}$[gk+1] = $\displaystyle {\frac{{s}}{{(s^2+1)^{k+2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{s^2+1}}}$$\displaystyle \mathcal {L}$[gk] = $\displaystyle \mathcal {L}$[sin t]$\displaystyle \mathcal {L}$[gk], (19)

となるが、以下の公式を使えばここから漸化式が得られる:
$\displaystyle \mathcal {L}$[f]$\displaystyle \mathcal {L}$[g] = $\displaystyle \mathcal {L}$[f * g] = $\displaystyle \mathcal {L}$$\displaystyle \left[\vphantom{\int_0^tf(t-y)g(y)dy}\right.$$\displaystyle \int_{0}^{t}$f (t - y)g(y)dy$\displaystyle \left.\vphantom{\int_0^tf(t-y)g(y)dy}\right]$ (20)
この

(f * g)(t) = $\displaystyle \int_{0}^{t}$f (t - y)g(y)dy = $\displaystyle \int_{0}^{t}$f (y)g(t - y)dy

畳み込み 演算と呼ばれる。この公式 (20) は、 形式的に以下のように積分の順序交換と置換積分を行うことで得られる:
$\displaystyle \mathcal {L}$[f * g](s)
  = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$e-st$\displaystyle \left(\vphantom{\int_0^tf(t-y)g(y)dy}\right.$$\displaystyle \int_{0}^{t}$f (t - y)g(y)dy$\displaystyle \left.\vphantom{\int_0^tf(t-y)g(y)dy}\right)$dt = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$$\displaystyle \left(\vphantom{\int_y^\infty e^{-st}f(t-y)g(y)dt}\right.$$\displaystyle \int_{y}^{\infty}$e-stf (t - y)g(y)dt$\displaystyle \left.\vphantom{\int_y^\infty e^{-st}f(t-y)g(y)dt}\right)$dy  
  = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$$\displaystyle \left(\vphantom{\int_0^\infty e^{-s(y+x)}f(x)dx}\right.$$\displaystyle \int_{0}^{\infty}$e-s(y+x)f (x)dx$\displaystyle \left.\vphantom{\int_0^\infty e^{-s(y+x)}f(x)dx}\right)$g(y)dy = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$$\displaystyle \left(\vphantom{\int_0^\infty e^{-sx}f(x)dx}\right.$$\displaystyle \int_{0}^{\infty}$e-sxf (x)dx$\displaystyle \left.\vphantom{\int_0^\infty e^{-sx}f(x)dx}\right)$e-syg(y)dy  
  = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$e-sxf (x)dx$\displaystyle \int_{0}^{\infty}$e-syg(y)dy = $\displaystyle \mathcal {L}$[f]$\displaystyle \mathcal {L}$[g]  

よって、(18), (19), (20) により、

$\displaystyle \mathcal {L}$[fk+1] = $\displaystyle \mathcal {L}$[fk * sin t],   $\displaystyle \mathcal {L}$[gk+1] = $\displaystyle \mathcal {L}$[gk * sin t]

となるので、畳み込み演算による漸化式
fk+1 = fk * sin t,   gk+1 = gk * sin t (21)
が得られる。これは一見シンプルでわかりやすいので、 これを漸化式として fk , gk は順次計算できる、 と書いてある本もあるようであるが、 実際にはこれを用いて計算するのもそれほど易しくはない。
f1 = f0 * sin t = $\displaystyle \int_{0}^{t}$f0(y)sin(t - y)dy = $\displaystyle \int_{0}^{t}$sin y sin(t - y)dy  
  = $\displaystyle \int_{0}^{t}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}${cos(2y - t) - cos t}dy = $\displaystyle \left[\vphantom{\frac{\sin(2y-t)}{4}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin(2y-t)}}{{4}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin(2y-t)}{4}}\right]_{{y=0}}^{{y=t}}$ - $\displaystyle {\frac{{t}}{{2}}}$cos t  
  = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$sin t - $\displaystyle {\frac{{t}}{{2}}}$cos t,  
f2 = f1 * sin t = $\displaystyle \int_{0}^{t}$f1(y)sin(t - y)dy = $\displaystyle \int_{0}^{t}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$(sin y - y cos y)sin(t - y)dy  
  = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}\sin t-\frac{t}{2}\cos t}\right.$$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$sin t - $\displaystyle {\frac{{t}}{{2}}}$cos t$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}\sin t-\frac{t}{2}\cos t}\right)$ + $\displaystyle \int_{0}^{t}$$\displaystyle {\frac{{y}}{{4}}}${sin(2y - t) - sin t}dy  
  = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$sin t - $\displaystyle {\frac{{t}}{{4}}}$cos t + $\displaystyle \left[\vphantom{-\frac{y\cos(2y-t)}{8}}\right.$ - $\displaystyle {\frac{{y\cos(2y-t)}}{{8}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{y\cos(2y-t)}{8}}\right]_{{y=0}}^{{y=t}}$ + $\displaystyle \int_{0}^{t}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$cos(2y - t)dy - $\displaystyle {\frac{{t^2}}{{8}}}$sin t  
  = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$sin t - $\displaystyle {\frac{{3t}}{{8}}}$cos t + $\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$sin t - $\displaystyle {\frac{{t^2}}{{8}}}$sin t = $\displaystyle {\frac{{3}}{{8}}}$sin t - $\displaystyle {\frac{{3t}}{{8}}}$cos t - $\displaystyle {\frac{{t^2}}{{8}}}$sin t  

見てわかる通り、三角関数の積を和に直したり、部分積分が入ったりと 結構面倒である。

結局、漸化式で具体的に fk , gk を求めるには、 (12), または (13), (14) を用いるのが よさそうである。もちろん、(15), (16) や (21) なども全く意味がないわけではなく、 これが使われる場面もちゃんとあるとは思う。

竹野茂治@新潟工科大学
2008年3月26日