8 未定係数法

$\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{2m+1}}}}$	=	$\displaystyle \mathcal {L}$ [a_2mt^2msin t + a_2m-1t^2m-1cos t + ^... + a₀sin t],
$\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^{2m}}}}$	=	$\displaystyle \mathcal {L}$ [b_2m-1t^2m-1cos t + b_2m-2t^2m-2sin t + ^... + b₀sin t],
$\displaystyle {\frac{{s}}{{(s^2+1)^{2m+1}}}}$	=	$\displaystyle \mathcal {L}$ [c_2mt^2mcos t + c_2m-1t^2m-1sin t + ^... + c₀cos t],
$\displaystyle {\frac{{s}}{{(s^2+1)^{2m}}}}$	=	$\displaystyle \mathcal {L}$ [d_2m-1t^2m-1sin t + d_2m-2t^2m-2cos t + ^... + d₀cos t]

未定係数法は、これを利用して a_j , b_j 等を未定係数として代入と比較によりその係数を求める、という方法である。これなら漸化式のように順に求める必要はなく、f_k , g_k を直接求められる。例として f₄ を考えてみる。

$\displaystyle \mathcal {L}$ [f₄]	=	$\displaystyle {\frac{{1}}{{(s^2+1)^5}}}$ = $\displaystyle \mathcal {L}$ [a₄t⁴sin t + a₃t³cos t + a₂t²sin t + a₁t cos t + a₀sin t]
	=	a₄ $\displaystyle {\frac{{4!\Im(s+i)^5}}{{(s^2+1)^5}}}$ + a₃ $\displaystyle {\frac{{3!\Re(s+i)^4}}{{(s^2+1)^4}}}$ + a₂ $\displaystyle {\frac{{2!\Im(s+i)^3}}{{(s^2+1)^3}}}$ + a₁ $\displaystyle {\frac{{1!\Re(s+i)^2}}{{(s^2+1)^2}}}$
		+ a₀ $\displaystyle {\frac{{0!\Im(s+i)}}{{s^2+1}}}$
	=	$\displaystyle {\frac{{24a_4(5s^4-10s^2+1)}}{{(s^2+1)^5}}}$ + $\displaystyle {\frac{{6a_3(s^4-6s^2+1)}}{{(s^2+1)^4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{2a_2(3s^2-1)}}{{(s^2+1)^3}}}$
		+ $\displaystyle {\frac{{a_1(s^2-1)}}{{(s^2+1)^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{a_0}}{{s^2+1}}}$

$\displaystyle {\frac{{1}}{{Y^5}}}$	=	$\displaystyle {\frac{{24a_4\{5(Y-1)^2-10(Y-1)+1\}}}{{Y^5}}}$ + $\displaystyle {\frac{{6a_3\{(Y-1)^2-6(Y-1)+1\}}}{{Y^4}}}$
		+ $\displaystyle {\frac{{2a_2\{3(Y-1)-1\}}}{{Y^3}}}$ + $\displaystyle {\frac{{a_1(Y-2)}}{{Y^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{a_0}}{{Y}}}$
	=	24a₄ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{5}{Y^3}-\frac{20}{Y^4}+\frac{16}{Y^5}}\right.$ $\displaystyle {\frac{{5}}{{Y^3}}}$ - $\displaystyle {\frac{{20}}{{Y^4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{16}}{{Y^5}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{5}{Y^3}-\frac{20}{Y^4}+\frac{16}{Y^5}}\right)$ +6a₃ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{Y^2}-\frac{8}{Y^3}+\frac{8}{Y^4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{Y^2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{8}}{{Y^3}}}$ + $\displaystyle {\frac{{8}}{{Y^4}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{Y^2}-\frac{8}{Y^3}+\frac{8}{Y^4}}\right)$ +2a₂ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{3}{Y^2}-\frac{4}{Y^3}}\right.$ $\displaystyle {\frac{{3}}{{Y^2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{4}}{{Y^3}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{3}{Y^2}-\frac{4}{Y^3}}\right)$
		+ a₁ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{Y}-\frac{2}{Y^2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{Y}}}$ - $\displaystyle {\frac{{2}}{{Y^2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{Y}-\frac{2}{Y^2}}\right)$ + $\displaystyle {\frac{{a_0}}{{Y}}}$
	=	$\displaystyle {\frac{{384a_4}}{{Y^5}}}$ + $\displaystyle {\frac{{-480a_4+48a_3}}{{Y^4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{120a_4-48a_3-8a_2}}{{Y^3}}}$ + $\displaystyle {\frac{{6a_3+6a_2-2a_1}}{{Y^2}}}$
		+ $\displaystyle {\frac{{a_1+a_0}}{{Y}}}$

a₄	=	$\displaystyle {\frac{{1}}{{384}}}$ ,
a₃	=	10a₄ = $\displaystyle {\frac{{5}}{{192}}}$ ,
a₂	=	15a₄ -6a₃ = $\displaystyle {\frac{{5}}{{128}}}$ - $\displaystyle {\frac{{5}}{{32}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{15}}{{128}}}$ ,
a₁	=	3a₃ +3a₂ = $\displaystyle {\frac{{5}}{{64}}}$ - $\displaystyle {\frac{{45}}{{128}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{35}}{{128}}}$ ,
a₀	=	- a₁ = $\displaystyle {\frac{{35}}{{128}}}$

f₄	=	$\displaystyle {\frac{{t^4}}{{384}}}$ sin t + $\displaystyle {\frac{{5t^3}}{{192}}}$ cos t - $\displaystyle {\frac{{15t^2}}{{128}}}$ sin t - $\displaystyle {\frac{{35t}}{{128}}}$ cos t + $\displaystyle {\frac{{35}}{{128}}}$ sin t
	=	$\displaystyle {\frac{{1}}{{384}}}$ (t⁴sin t + 10t³cos t - 45t²sin t - 105t cos t + 105 sin t)

最後の連立方程式 (23) は、 5 本の方程式なので大変そうに見えるが、実際には上から順に一つずつ未知数が求まっていくし、下に行っても未知数の数がそれほど増えないので、それほど大変ではない。しかし、そこに至るまでの計算量が多少あるので、 7 節の (13) の計算に比べると、やや計算量が多いように思う。