5 分母が二次式の巾の場合の標準変形

次は、分母が二次式の巾の場合

F(s) = $${\frac{{D(s)}}{{(s^2+\mu s+\xi)^\tau}}}$$   (deg D < 2$$\tau$$, $$\mu^{2}_{}$$ -4$$\xi$$ < 0)

の形のものを考える。この場合、 s² + $\mu$s + $\xi$ を変形すれば、

s² + $$\mu$$s + $$\xi$$ = (s - p)² + q²   $$\left(\vphantom{p=-\frac{\mu}{2},\ q=\sqrt{\xi-\frac{\mu^2}{4}}>0}\right.$$p = - $${\frac{{\mu}}{{2}}}$$, q = $$\sqrt{{\xi-\frac{\mu^2}{4}}}$$ > 0$$\left.\vphantom{p=-\frac{\mu}{2},\ q=\sqrt{\xi-\frac{\mu^2}{4}}>0}\right)$$

と書き換えることができ、

F(s) = $${\frac{{D(s)}}{{\{(s-p)^2+q^2\}^\tau}}}$$

となる。この式で s = p + qS とすれば、

F(s) = $${\frac{{D(p+qS)}}{{(q^2S^2+q^2)^\tau}}}$$ = $${\frac{{1}}{{q^{2\tau}}}}$$ $${\frac{{D(p+qS)}}{{(S^2+1)^\tau}}}$$ = $${\frac{{\tilde{D}(S)}}{{(S^2+1)^\tau}}}$$

となる。ここで、 $\tilde{{D}}$(S) = D(p + qS)/q^2$\tau$ は D(s) と同じ次数の多項式である。

この最後のS に関する式のラプラス逆変換 g(t) が

$${\frac{{\tilde{D}(S)}}{{(S^2+1)^\tau}}}$$ = $$\mathcal {L}$$[g(t)](S)

と求まれば、S = (s - p)/q より、 (3), (6) を用いて変形すれば、

$$\mathcal {L} \left(\vphantom{\frac{s-p}{q}}\right. {\frac{{s-p}}{{q}}} \left.\vphantom{\frac{s-p}{q}}\right) {\frac{{1}}{{q}}} \mathcal {L} \left(\vphantom{\frac{s-p}{q}}\right. {\frac{{s-p}}{{q}}} \left.\vphantom{\frac{s-p}{q}}\right)$$ F(s) =

$$\mathcal {L} \mathcal {L} \mathcal {L}$$ =

と変形でき、よって $\mathcal {L}$^-1[F] = qe^ptg(qt) となる。 つまり g(t) 、すなわち

$$\tilde{{F}} {\frac{{\tilde{D}(s)}}{{(s^2+1)^\tau}}} \tilde{{D}} \tau$$ (7)

の形の関数のラプラス逆変換を求めればいいことになる。

例えば、

F(s) = $${\frac{{s^4+2s-5}}{{(s^2+2s+3)^3}}}$$

の場合を考えると、

F(s) = $${\frac{{s^4+2s-5}}{{\{(s+1)^2+2\}^3}}}$$

なので、 s + 1 = $\sqrt{{2}}$S とすると

F(s) = $${\frac{{(\sqrt{2}S-1)^4+2(\sqrt{2}S-1)-5}}{{(2S^2+2)^3}}}$$

となり、この分子を展開すれば

$$\sqrt{{2}} \sqrt{{2}}$$

$$\sqrt{{2}} \sqrt{{2}} \sqrt{{2}}$$ =

$$\sqrt{{2}} \sqrt{{2}}$$ =

なので、

F(s) = $${\frac{{2S^4-4\sqrt{2}S^3+6S^2-\sqrt{2}S-3}}{{4(S^2+1)^3}}}$$

となる。 これが、 $\mathcal {L}$[g(t)](S) となれば、

$$\mathcal {L}$$[g(t)](S) = $$\mathcal {L}$$[g(t)]$$\left(\vphantom{\frac{s+1}{\sqrt{2}}}\right.$$$${\frac{{s+1}}{{\sqrt{2}}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{s+1}{\sqrt{2}}}\right)$$ = $$\sqrt{{2}}$$$$\mathcal {L}$$[g($$\sqrt{{2}}$$t)](s + 1) = $$\mathcal {L}$$[$$\sqrt{{2}}$$e^-tg($$\sqrt{{2}}$$t)](s)

となり、よって、

$$\mathcal {L}$$^-1[F] = $$\sqrt{{2}}$$e^-tg($$\sqrt{{2}}$$t)

となるわけである。

(7) をさらに変形して、 よりシンプルな形のものに帰着することもできる。 (7) の分子の $\tilde{{D}}$(s) を 偶数次と奇数次の項に分けて、

$$\tilde{{D}} \alpha \alpha \beta \beta$$ =

= D₁(s²) + sD₂(s²)

$$\alpha \alpha \beta \beta$$

のようにすれば、 $\tilde{{F}}$(s) は、s² + 1 = Y とすることによって、

$$\tilde{{F}} {\frac{{D_1(s^2)+sD_2(s^2)}}{{(s^2+1)^\tau}}} {\frac{{D_1(s^2)}}{{(s^2+1)^\tau}}} {\frac{{sD_2(s^2)}}{{(s^2+1)^\tau}}}$$ =

$${\frac{{D_1(Y-1)}}{{Y^\tau}}} {\frac{{D_2(Y-1)}}{{Y^\tau}}} {\frac{{\tilde{D}_1(Y)}}{{Y^\tau}}} {\frac{{\tilde{D}_2(Y)}}{{Y^\tau}}}$$ =

$${\frac{{\tilde{b}_0+\tilde{b}_1Y+\cdots+\tilde{b}_\alpha Y^\alpha}}{{Y^\tau}}} {\frac{{\tilde{c}_0+\tilde{c}_1Y+\cdots+\tilde{c}_\beta Y^\beta}}{{Y^\tau}}}$$ =

$$\sum_{{j=0}}^{\alpha} {\frac{{\tilde{b}_j}}{{Y^{\tau-j}}}} \sum_{{k=0}}^{\beta} {\frac{{\tilde{c}_k}}{{Y^{\tau-k}}}} \sum_{{j=0}}^{\alpha} {\frac{{\tilde{b}_j}}{{(s^2+1)^{\tau-j}}}} \sum_{{k=0}}^{\beta} {\frac{{\tilde{c}_ks}}{{(s^2+1)^{\tau-k}}}}$$ =

と変形できるので、このように考えれば、結局

$${\frac{{1}}{{(s^2+1)^{k+1}}}} {\frac{{s}}{{(s^2+1)^{k+1}}}} \geq$$ (8)

の形の関数の逆変換を求めればいいことになる。

例えば、前の例で言えば、分子の 2S⁴ -4$\sqrt{{2}}$S³ +6S² - $\sqrt{{2}}$S - 3 を、奇数次、偶数次に分けて

(2S⁴ +6S² -3) - S(4$$\sqrt{{2}}$$S² + $$\sqrt{{2}}$$)

とし、さらに S² + 1 = Y を代入して

$$\sqrt{{2}} \sqrt{{2}}$$

$$\sqrt{{2}}$$ =

と変形できるので、

$${\frac{{2Y^2+2Y-7}}{{4Y^3}}} {\frac{{\sqrt{2}S(4Y-3)}}{{4Y^3}}}$$ F(s) =

$${\frac{{1}}{{2Y}}} {\frac{{1}}{{2Y^2}}} {\frac{{7}}{{4Y^3}}} {\frac{{\sqrt{2}S}}{{Y^2}}} {\frac{{3\sqrt{2}S}}{{4Y^3}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2(S^2+1)}}} {\frac{{1}}{{2(S^2+1)^2}}} {\frac{{7}}{{4(S^2+1)^3}}} {\frac{{\sqrt{2}S}}{{(S^2+1)^2}}} {\frac{{3\sqrt{2}S}}{{4(S^2+1)^3}}}$$ =

という形になる、といった具合である。

よって、以後この F_k(s) , G_k(s) 、 あるいは (7) の形のものの逆変換を考えていくことにする。