4 分母が一次式の巾の場合

まずは、分母が一次式の巾の形

F(s) = $${\frac{{C(s)}}{{(s-r)^m}}}$$   (deg C = l < m)

の場合を考える。s - r = S とすれば s = S + r より、

F(s) = $${\frac{{C(S+r)}}{{S^m}}}$$ = $${\frac{{\tilde{C}(S)}}{{S^m}}}$$

のように書ける。 ここで、 $\tilde{{C}}$(S) = C(S + r) は C(s) と同じ l 次の多項式である。 この $\tilde{{C}}$ を

$$\tilde{{C}}$$(S) = a₀ + a₁S + ^... + a_lS^l

と書くことにすれば、

F(s) = $${\frac{{a_0+a_1S+\cdots+a_lS^l}}{{S^m}}}$$ = $${\frac{{a_0}}{{S^m}}}$$ + $${\frac{{a_1}}{{S^{m-1}}}}$$ + ^... + $${\frac{{a_l}}{{S^{m-l}}}}$$

と変形できるので、 $\mathcal {L}$[t^k-1/(k - 1)!] = 1/s^k 、 および (3) より

$$\mathcal {L} \left[\vphantom{\frac{t^{m-1}}{(m-1)!}}\right. {\frac{{t^{m-1}}}{{(m-1)!}}} \left.\vphantom{\frac{t^{m-1}}{(m-1)!}}\right] \mathcal {L} \left[\vphantom{\frac{t^{m-l-1}}{(m-l-1)!}}\right. {\frac{{t^{m-l-1}}}{{(m-l-1)!}}} \left.\vphantom{\frac{t^{m-l-1}}{(m-l-1)!}}\right]$$ F(s) =

$$\mathcal {L} \left[\vphantom{a_0\frac{t^{m-1}}{(m-1)!} +\cdots+a_l\frac{t^{m-l-1}}{(m-l-1)!}}\right. {\frac{{t^{m-1}}}{{(m-1)!}}} {\frac{{t^{m-l-1}}}{{(m-l-1)!}}} \left.\vphantom{a_0\frac{t^{m-1}}{(m-1)!} +\cdots+a_l\frac{t^{m-l-1}}{(m-l-1)!}}\right]$$ =

$$\mathcal {L} \left[\vphantom{e^{rt}\left\{\frac{a_0t^{m-1}}{(m-1)!} +\cdots+\frac{a_lt^{m-l-1}}{(m-l-1)!} \right\}}\right. \left\{\vphantom{\frac{a_0t^{m-1}}{(m-1)!} +\cdots+\frac{a_lt^{m-l-1}}{(m-l-1)!} }\right. {\frac{{a_0t^{m-1}}}{{(m-1)!}}} {\frac{{a_lt^{m-l-1}}}{{(m-l-1)!}}} \left.\vphantom{\frac{a_0t^{m-1}}{(m-1)!} +\cdots+\frac{a_lt^{m-l-1}}{(m-l-1)!} }\right\} \left.\vphantom{e^{rt}\left\{\frac{a_0t^{m-1}}{(m-1)!} +\cdots+\frac{a_lt^{m-l-1}}{(m-l-1)!} \right\}}\right]$$ =

となるので、

$$\mathcal {L}$$^-1[F(s)] = e^rt$$\left\{\vphantom{\frac{a_0t^{m-1}}{(m-1)!} +\cdots+\frac{a_lt^{m-l-1}}{(m-l-1)!} }\right.$$$${\frac{{a_0t^{m-1}}}{{(m-1)!}}}$$ + ^... + $${\frac{{a_lt^{m-l-1}}}{{(m-l-1)!}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{a_0t^{m-1}}{(m-1)!} +\cdots+\frac{a_lt^{m-l-1}}{(m-l-1)!} }\right\}$$

が得られる。

例えば、

F(s) = $${\frac{{3s^2-2s+4}}{{(s+2)^4}}}$$

の場合を考えると、S = s + 2 とすれば、

$${\frac{{3(S-2)^2-2(S-2)+4}}{{S^4}}} {\frac{{3S^2-14S+20}}{{S^4}}} {\frac{{3}}{{S^2}}} {\frac{{14}}{{S^3}}} {\frac{{20}}{{S^4}}}$$ F(s) =

$$\mathcal {L} \left[\vphantom{\frac{t^1}{1!}}\right. {\frac{{t^1}}{{1!}}} \left.\vphantom{\frac{t^1}{1!}}\right] \mathcal {L} \left[\vphantom{\frac{t^2}{2!}}\right. {\frac{{t^2}}{{2!}}} \left.\vphantom{\frac{t^2}{2!}}\right] \mathcal {L} \left[\vphantom{\frac{t^3}{3!}}\right. {\frac{{t^3}}{{3!}}} \left.\vphantom{\frac{t^3}{3!}}\right]$$ =

$$\mathcal {L} \mathcal {L} \mathcal {L} \left[\vphantom{\frac{10}{3}t^3}\right. {\frac{{10}}{{3}}} \left.\vphantom{\frac{10}{3}t^3}\right] \mathcal {L} \left[\vphantom{3t-7t^2+\frac{10}{3}t^3}\right. {\frac{{10}}{{3}}} \left.\vphantom{3t-7t^2+\frac{10}{3}t^3}\right]$$ =

$$\mathcal {L} \left[\vphantom{e^{-2t}\left(3t-7t^2+\frac{10}{3}t^3\right)}\right. \left(\vphantom{3t-7t^2+\frac{10}{3}t^3}\right. {\frac{{10}}{{3}}} \left.\vphantom{3t-7t^2+\frac{10}{3}t^3}\right) \left.\vphantom{e^{-2t}\left(3t-7t^2+\frac{10}{3}t^3\right)}\right]$$ =

となるので、

$$\mathcal {L}$$^-1[F] = e^-2t$$\left(\vphantom{3t-7t^2+\frac{10}{3}t^3}\right.$$3t - 7t² + $${\frac{{10}}{{3}}}$$t³$$\left.\vphantom{3t-7t^2+\frac{10}{3}t^3}\right)$$

となるわけである。