Next: 3 周期解への収束 Up: 単独保存則方程式の周期解の数値解析 Previous: 1 はじめに (PDF ��: kiyou1997.pdf)

2 差分近似解

外力項のない方程式

$\begin{displaymath} u_t+\left(\frac{u^2}{2}\right)_x=0 \hspace*{1em}(0<x<1, \hspace*{1em}t>0),\end{displaymath}$

(6)

の初期値境界値問題

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} u(t,0)=u(t,1) & (t>0),\\ u(0,x)=u_0(x) & (0<x<1) \end{array}\right.\end{displaymath}$

(7)

の解は,

-方向の積分による平均 $\int_0^1u(t,x)dx$ を保存するため, $t\rightarrow\infty$ のとき $\bar{u}=\int_0^1 u_0(x)dx$ という定数解に収束し, またその収束の速さは $O(t^{-1})$ となることが知られている[2]. これにより, 任意の初期値に対して, 周期的外力を与えた方程式 (1) の初期値境界値問題 (7) の一意に定まるエントロピー解は $t\rightarrow\infty$ のときに周期解に近づいていくと予想される.

よって数値計算では初期値は適当に与えて, その近似解の $t=mT (m=1,2,3,\ldots)$ での近似解の値の, を大きくしていったときの様子を調べてみることにした. ただし, この方法では不安定な周期解を得ることはできない.

近似解は, その収束性が保証されていて[1], 周期解の存在証明にも使用されている[3] 段階的な Lax-Friedrichs 型の差分近似

$\begin{eqnarray*} u^{n+1/2}_{j} & = & \frac{u^n_{j+1/2}+u^n_{j-1/2}}{2} - \fr... ...1,2,\ldots, j=0,1,2,\ldots, L-1, u^n_j=u(n\Delta t,j\Delta x)) \end{eqnarray*}$

を用いた. また, 境界の所では境界条件 (7) を考慮して,

を

-方向に周期拡張して計算した.

この差分近似は計算精度はそれほどよくはないが, 計算が楽であり, 安定であることから今回のような漸近的な解析には用いやすい. ただし, その誤差は

$\begin{displaymath} \frac{\Delta x^2}{2\Delta t}u_{xx} \end{displaymath}$

の形で発生し, この項の持つ粘性効果のために解が平滑化される. Courant-Friedrichs-Lewy 条件と呼ばれる差分幅に対する安定化条件

$\begin{displaymath} \{\vert f'(u)\vert+T\vert g\vert\}\frac{\Delta t}{\Delta x}\leq 1 \end{displaymath}$

を与えるために, $\Delta x$ を小さくすればこの粘性効果は少なくなるが, 周期解の数値解析には影響を及ぼす. この効果については 4 節で述べる.

Next: 3 周期解への収束 Up: 単独保存則方程式の周期解の数値解析 Previous: 1 はじめに

Shigeharu TAKENO
2001年 7月 20日