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1 はじめに

非粘性圧縮性流体の運動方程式などを含む, 保存則方程式と呼ばれる準線形双曲型偏微分方程式については, 数学的にはまだ知られていないことが非常に多い. 例えば, 最も基本的な問題である解の存在と一意性については, 空間一次元の方程式に対してでさえ, 単独の方程式の場合を除いては完全には解決していない.

この方程式の数学的な解析の難しさの原因の一つは, 解に不連続性が発生することである. 初期値が微分可能性の高い滑らかな関数でも, 有限時刻で解の滑らかさが失われて, 不連続性が発生する現象が起こる. このような不連続な解は, 流体の方程式の場合の物理現象と対応づけて, 一般に衝撃波と呼ばれている.

この不連続な関数をも解と考えるために, 弱解という通常の解よりも広い概念が用いられるが, 一般には初期値に対して弱解は一意に決定しないので, 一意性を与えるために, 流体の場合のエントロピー増大則に対応するエントロピー条件という数学的な条件を課す必要がある. この条件を満たす弱解をエントロピー解と呼ぶ.

単独の保存則方程式

$\begin{displaymath} u_t + f(u)_x = g(t,x) \hspace*{2em}(u=u(t,x)\in\mbox{\sl R},\hspace*{1em}f''(u)>0)\end{displaymath}$

(1)

に対しては, エントロピー解の存在と一意性, 漸近挙動などは調べられている[1,2,4] が, より具体的な解の性質についてはまだ知られていないことが多い.

例えば, 外力項が時刻に関して周期的である場合に周期的な解が存在するかという問題について, 最近次のような結果が得られた[3].

定理 1 方程式 (1) の

がある正数 $\delta$ に対し

$\begin{displaymath} f''(u)\geq\delta \hspace*{2em}(u\in\mbox{\sl R}) \end{displaymath}$

(2)

を満たし, 外力項

が

に関して周期

を持つ有界な周期関数であり, 両立条件

$\begin{displaymath} \int_0^T dt \int_0^1 g(t,x)dx = 0 \end{displaymath}$

(3)

と, ある正の定数

に対して不等式

$\begin{displaymath} \tilde{g}(t,x)-\tilde{g}(t,y)\leq G_1(x-y) \hspace*{2em}(x>y) \end{displaymath}$

(4)

を満たすとする. ただし $\tilde{g}(t,x)$ は

を

に関して区間

から $\mbox{\sl R}$ 全体の関数に周期的に拡張したものとする. このとき, 境界条件

$\begin{displaymath} u(t,0)=u(t,1) \hspace*{2em}(0<t<T) \end{displaymath}$

(5)

のもと, 任意の平均値 $\bar{u}$ に対して方程式 (1) は周期

の時間周期的なエントロピー解を少なくとも一つ持つ. すなわち, (1), (5), および

$\begin{displaymath} u(T,x)=u(0,x),\hspace*{2em}\int_0^1 u(0,x)=\bar{u} \end{displaymath}$

を満たすような

が少なくとも一つ存在する.

より複雑な方程式系である理想気体の方程式に対して, 相京[5], 水澤[6] は周期がではなく , のような倍周期であるような解の存在を数値実験によって示している. このような現象は, 周期倍分岐と呼ばれる, 周期解の分岐現象として知られている. 数学的には常微分方程式, そして最近では半線形の波動方程式に対する研究が行われているようであるが[7,8], (1) のような準線形の波動方程式に対する論文はまだ見当たらない.

本報告では , すなわち非粘性バーガース方程式の場合の周期解, および周期倍分岐についての数値計算によるいくつかの結果を述べる.

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Shigeharu TAKENO
2001年 7月 20日