3 その他のηの場合

次に、$\phi _0(u)$ 以外の $\eta$ を考える。 まずは $\eta=\phi_1(u)=4u(1-u)$ から。

実は、$\phi _0(u)$ と $\phi _1(u)$ とは、 これも [3] でも紹介されているが、関数

  $$\xi_1(u) = \frac{1-\cos\pi u}{2} = \sin^2\frac{\pi}{2}\,u$$ (12)

を通じてつながることが知られている。

図 2: $\xi _1(u)$ と $\phi _2(u)$

この $\xi _1(u)$ は $[0,1]$ で連続かつ単調増加で、$\xi_1(0)=0$, $\xi_1(1/2)=1/2$, $\xi_1(1)=1$ を満たす。 $0\leq u\leq 1/2$ では、

$$\xi_1(2u) = \sin^2 \pi u = 4\sin^2\frac{\pi}{2}\,u\cos^2\frac{\pi}{2}\,u = 4\xi_1(u)(1-\xi_1(u)) = \phi_1(\xi_1(u))$$

となり、また $1/2\leq u\leq 1$ では、

$$\xi_1(2(1-u)) = \sin^2\pi(1-u) = \sin^2\pi u = 4\xi_1(u)(1-\xi_1(u)) = \phi_1(\xi_1(u))$$

となって、よって

$$\xi_1(\phi_0(u)) = \phi_1(\xi_1(u))\hspace{1zw}(0\leq u\leq 1)$$

が成り立つ。ここから、 $\phi_1(u) = (\xi_1\circ\phi_0\circ\xi_1^{-1})(u)$ となり、 そして

$$\phi_1^n(u) = (\xi_1\circ\phi_0^n\circ\xi_1^{-1})(u)$$

も言える。

よって、$k\geq 1$ に対して、

$$G(\phi_1^k(u)) = G(u)\hspace{1zw}(0\leq u\leq 1)$$

が満たされる場合、 $\hat{G}(u) = (G\circ\xi_1)(u)$ とすれば、 $\hat{G}(u)$ は連続で、

$$G(\phi_1^k(u)) = G((\xi_1\circ\phi_0^k\circ\xi_1^{-1})(u)) = \hat{G}((\phi_0^k\circ\xi_1^{-1})(u)),\hspace{1zw}G(u) = \hat{G}(\xi_1^{-1}(u))$$

より

$$\hat{G}(\phi_0^k(u)) = \hat{G}(u)\hspace{1zw}(0\leq u\leq 1)$$

が成り立つので、2 節により $\hat{G}(u)$ は定数となり、 よって $G(u)$ も定数となる。 つまり、$\eta$ が $\phi_1$ の場合でも (1) が 成り立てば $G$ は定数となることがわかる。

同様のことは、 $\xi:[0,1]\rightarrow[0,1]$ が 全単射で連続 (よって単調) の場合、

  $$\psi(u) = (\xi\circ\phi_0\circ\xi^{-1})(u)$$ (13)

となる $\psi(u)$ に対しても言え、すなわち $G$ を定数にする。

例えば、 $\xi_2(u)=1-(1-u)^2$ は $[0,1]$ から $[0,1]$ の 全単射な連続関数で、

$$\xi_2^{-1}(u)=1-\sqrt{1-u}\hspace{1zw}(0\leq u\leq 1)$$

なので、

$$(\phi_0\circ\xi_2^{-1})(u) = \left\{\begin{array}{ll} 2-2\sqrt{... ...\displaystyle \left(1-\,\frac{1}{\sqrt{2}}\leq u\leq 1\right)\end{array}\right.$$

より、

$$(\xi_2\circ\phi_0\circ\xi_2^{-1})(u) = 1-(2\sqrt{1-u}-1)^2 = 4\sqrt{1-u}-4(1-u)$$

となる。 なお、これは $u=1-1/\sqrt{2}$ での特異性も消えているが、 それは $\xi_2'(1-0)=0$ による。

(13) により $G(u)$ を定数にする $\eta$ の バリエーションが増えるが、次はそれには含まれない、 次のような関数を考えてみる。

  $$\phi_2(u) = \left\{\begin{array}{ll} 3u & \displaystyle \left(0... ...3(1-u) & \displaystyle \left(\frac{2}{3}\leq u\leq 1\right) \end{array}\right.$$ (14)

$u\in[0,1]$ を 3 進展開して、

  $$u = \frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\frac{a_3}{3^3}+\cdots = (a_1,a_2,a_3,\ldots)_3 \hspace{1zw}(a_j=0,1,2)$$ (15)

と書き、 $\overline{a_j}=2-a_j$ とする。あるところから先が 0 の場合は、 2 進の場合同様

$$\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_k}{3^k} =(a_1,a_2,\ldots,a_k)_3$$

と書く。

(15) で $a_1=0$ の場合は $u\leq 1/3$ より

$$\phi_2(u) = 3u = 3(0,a_2,a_3,a_4,\ldots)_3 = (a_2,a_3,a_4,\ldots)_3$$

のシフトになり、$a_1=1$ の場合は $1/3\leq u\leq 2/3$ より

$$\phi_2(u) = 1\hspace{1zw}(\phi_2^2(u)=0)$$

となる。$a_1=2$ の場合は $u\geq 2/3$ より

$$\begin{eqnarray*}\phi_2(u) &=& 3(1-u) = 3((2,2,2,\ldots)_3-(2,a_2,a_3,\ldot... ... \\ &=& (\overline{a_2},\overline{a_3},\overline{a_4},\ldots)_3\end{eqnarray*}$$

の反転とシフトをしたものになる。

よって $a_j=1$ が途中に含まれると、少なくとも $k\geq j+1$ に対して

  $$\phi_2^k(u)=0$$ (16)

となる。そのような $u$ は、$n\geq 1$, $0\leq m<3^{n-1}$ の 整数 $n,m$ に対し

$$\frac{3m+1}{3^n}\leq u\leq \frac{3m+2}{3^n}$$

となるものがすべて該当する。 なお $u=(3m+2)/3^n$ の場合は、 $a_n=2$, $a_{n+j}=0$ ($j\geq 1$) だが、 それは $a_n=1$, $a_{n+j}=2$ と書くこともできるので 上に含まれることになる。

その $u$ の集合を、

  $$\left\{\begin{array}{lll} U_0 &= &\displaystyle \bigcup_{n=1... ...2}{81}\right] \cdots \\ [1zh] U_1 &= & U_0\cup\{0,1\} \end{array}\right.$$ (17)

とする。これは、いわゆるカントール 3 進集合の 補集合 (cf.[4]) に近いものになっていて、 $U_0$, $U_1$ の幅は、

$$\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2^2}{3^3}+\cdots = 1$$

となるので $U_1$ の補集合 $U_1^c$ はいわゆる 0 集合となる。

$U_1^c$ の元は、0, 2 のみの $a_j$ からなる 3 進表示を持つが、 $a_j$ が 0, 2 のみで、あるところから先の $a_j$ がすべて 0、 またはあるところから先の $a_j$ がすべて 2 の $u$ は、 $u=(3m+1)/3^n,(3m+2)/3^n$ の形か、または 0, 1 のいずれか となり、それらはすべて $U_1$ に含まれるので、 よって $U_1^c$ は $a_j$ が 0 または 2 で、あるところから先が全部 0、 およびあるところから先が全部 2 になるものを除いたもの、となる。 すなわち、有限の 3 進展開になる $u=(a_1,a_2,\ldots,a_k)_3$ は すべて $U_1$ に含まれる。

そしてこの場合、$U_1^c\ni u$ ならば $\phi_2(u)\in U_1^c$ であり、 一方 $U_1\ni u$ ならば $a_j$ に 1 が含まれるか、 または有限の 3 進展開表示を持つか 0, 1 のいずれかなので、 そのいずれの場合もある $k$ に対し $\phi_2^k(u)=0$ となる。

次に、$u_2\in U_1^c$ で、 $\{\phi_2^n(u_2)\}_n$ が $U_1^c$ で稠密となる ような $u_2$ が取れることを示す。 それには、$\phi_0$ と $u_0$ の場合のように、

$$\left.(0)_3,(2)_3\right\vert \left.(0,0)_3,(0,2)_3,(2,0)_3,(2,2)_3\right\vert (0,0,0)_3,(0,0,2)_3,\ldots$$

を順に並べ、これらが先頭の桁に順に出るように $u_2$ を作る。 反転を調整するように 0 や 2 を適宜挟んで作ればよい。例えば、

$$u_2 = (0,\underline{0},\underline{2},2, \ \vert\ \underline{0,0},... ...0},2,\underline{2,2}, \ \vert\ \underline{0,0,0},\underline{0,0,2},2,\ldots)_3$$

のようにすれば、この $u_2$ に対して $\{\phi_2^n(u_2)\}_n$ が $U_1^c$ で稠密となる。また、さらに任意の自然数 $k$ に対して、 上の $u_2$ に適当に 0 を挿入したものを $u_2'$ とすることで、 $\{\phi_2^{kn}(u_2')\}_n$ が $U_1^c$ で稠密となるようにできることも、 $\phi_0$ の場合と同様である。

この場合、$\phi _2(u)$ と自然数 $k$ に対して、

  $$G(\phi_2^k(u))=G(u)\hspace{1zw}(0\leq u\leq 1)$$ (18)

が成り立つ場合、$G$ が定数となるかを考える。$u\in U_1$ の場合は、

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{\phi_2^{kn}(u)}=0$$

なので、その $u$ に対しては (18) より、

  $$G(u) = G(\phi_2^{kn}(u)) \rightarrow G(0)$$ (19)

すなわち $u\in U_1$ に対しては $G(u)=G(0)$ となる。

一方、$u\in U_1^c$ の場合は、 $\{\phi_2^{kn}(u_2')\}_n$ が $U_1^c$ で稠密なので、 ある増加無限数列 $\{n_j\}_j$ で、

$$\lim_{j\rightarrow \infty}{\phi_2^{kn_j}(u_2')} = u$$

となるものが取れる。よって、$G$ の連続性により、

  $$G(u) = \lim_{j\rightarrow \infty}{G(\phi_2^{kn_j}(u_2'))} = G(u_2')$$ (20)

が成り立つ。 そして $u_2'$ の 3 進表示の $m$ 桁目より先をすべて 0 としたものを $u_2'(m)$ とすると、 $u_2'(m)\in U_1$ で、かつ

$$\lim_{m\rightarrow \infty}{u_2'(m)}=u_2'$$

となるので、(19), (20) より、

$$G(u_2')=\lim_{m\rightarrow \infty}{G(u_2'(m))}=G(0)$$

となるので、結局 $G(u)$ は $[0,1]$ 上定数 $G(0)$ に 等しいことがわかった。

この $\phi _2(u)$ のように $\xi\circ\phi_0\circ\xi^{-1}$ では 表せないようなものでも、$G$ を定数にする性質も持つものがある。 もちろん、この $\phi _2(u)$ に対しても、 全単射で連続な $\xi:[0,1]\rightarrow[0,1]$ に対して $(\xi\circ\phi_2\circ\xi^{-1})(u)$ はすべて $G$ を定数にすることになる。