2.4 膨張波の一本化と front の延長可能性

次は、その front の一意的な延長可能性について考えてみる。

そのために、[1] では p132 で、 accurate method と simplified method をいつ使うか、 そしてさらに accurate method による解の作り方を修正する (P) という要請を 追加している。

• (A) accurate method は、「$t=0$ の場合」、 および「物理 front 同士の衝突でかつその流入 front の大きさの積が $\vert\sigma\sigma'\vert\geq\rho$ のとき」に使用する
• (S) simplified method は、 「非物理 front と物理 front の衝突のとき」、 および「物理 front 同士の衝突でかつその流入 front の大きさの積が $\vert\sigma\sigma'\vert<\rho$ のとき」に使用する
• (P) accurate method では、Riemann 問題の解の波のうち、 流入 front と同じ特性族 ($i$, $j$) の 膨張波については、その大きさが $\delta$ より 大きくても複数の front には分解せず 1 本の front にする

通常は、accurate method では、膨張波は大きさが最大 $\delta$ になるように 複数の front に分解することになっているので、 要請 (P) により $\delta$ より大きい膨張 front が出る可能性がでてくる。

そして、この構成法により、p132 と、少し後の話になるが p138 の 7.3 節の 4. で 次のことが言えると述べている。

1. すべての front は、他の front とぶつかって大きさが 0 に なってしまわない限り、$t$ の増加方向に一意的に延長可能である (p132 (P) のすぐ下)
2. 新しい物理 front は、accurate method でしか生成されない (p138)
3. accurate method は $\vert\sigma\sigma'\vert\geq\rho$ でしか使わないから、 (7.57) の評価からすると有限回しか実施しない (p138)
4. 上の 2., 3. より物理 front 接続の個数は有限個である (p138)
5. 新たな非物理 front は、simplified method の物理 front 同士の 衝突でしか生成されない (p138)
6. 2 つの物理 front 接続同士の衝突は、高々 1 回しか起こらない (p138)
7. 上の 5., 6. より、非物理 front 接続の個数も有限個である (p138)

この、2., 3., 4., 5. は特に問題ないと思うが、 1. と 6. は自明ではないと感じる。それについて以下で説明する。

まず 1. であるが、 accurate method では、要請 (P) により流入波と同じ front は 確かに一意的に伸びることになる。 一方、simplified method では、2 通りの場合 (p131 CASE 1, CASE 2) があり、 まず物理 front 同士の衝突の場合は p131 に「(7.25) のように」 Riemann 問題の解から近似解を作る、と書いているが、 「(7.25) のように」ということは、$\delta$ より大きい膨張波が現れれば それは小さい分解 front に分離することを意味する。

しかし、その直後に 「(7.27) よりそれは、$j>j'$ の場合は丁度 2 つの front、 $j=j'$ の場合は丁度 1 つの front からなる」と述べている。 これは、膨張波を小さいものに分解しないことを意味するように読める。 下に書かれている図 (Figure 7.7, Figure 7.8) もそれを 説明しているように見えなくもない。

「(7.27)」は、膨張波の分解が起こらないことを意味するのではなく、 Riemann 問題の解が $j$ と $j'$ の 2 つの特性族の波しか 出さないことを意味するので、膨張波を分解しない根拠にはならない。

また、要請 (P) は、「accurate method では」と 明確に述べているので、文面上は simplified method には 適用されず、これも分解しない根拠にはならない。

よって分解しない必然性があるとすれば、あとはその大きさが $\delta$ 以下 であることだけであるが、逆に要請 (P) は $\delta$ より大きなサイズを 持つ膨張 front を作り得ることを述べていて、 もしそのような膨張 front が存在すれば、 それとサイズの積が $\rho$ 未満になるような小さな衝撃波との衝突が起こすと それは simplified method で処理され、 それにより $\delta$ より大きな膨張波が出てしまうことになり、 その分解を止めることはできず、 結局 1. の一意的な延長はできなくなってしまう。

この状況を防ぐには、以下の (Erf) の評価か、別の要請 (P') の いずれかが必要になる。

• (Erf) 要請 (P) によって作られる膨張 front の大きさが $\delta$ を越えることがないことを示す
• (P') simplified method では、生成される膨張波は、 流入 front 同様分解しない (1 本の front のみにする)

[1] を見る限り、(Erf) ではなくどうやら (P') を要請 (仮定) し ているようなのであるが、どうもそれが明確ではない。 また、7.3 節の 5. (p138) にある通り、(Erf) は実際には無理でもある。 よって本稿では、(P') も要請されているとして話を進める。

次は、6. の方であるが、 当然物理 front 接続と非物理 front 接続は 1 度しか交わらないし、 特性族の異なる物理 front 接続同士も 1 度しか交わらないことはわかる。 問題は、同じ特性族の物理 front 接続同士が、2 度以上交わることはないか、 という点である。

衝突したときに accurate method が行われるのであれば、 (P) によりそれは 1 つの特性族には 1 本の front として 合体した形で延長されるので、当然それ以上の衝突は発生しない。 一方 simplified method が行われる場合は、 「(P') の保証があれば」accurate method 同様 1 つの特性族には 1 本の front になるが、 もし (P') の保証がなければ複数の分解 front に分離する可能性がある。

つまり、この 6. に関しても 1. と同様の問題があり、 やはり (P') が必要となるので、 本稿では (P') を仮定して話をすすめることにする。

なお、その (P), (P') の要請、および後 (3.6 節と 6 節) で述べる 速度変化の制限の仮定の元、 それを満たす近似解が作れていれば、 上の 1.$\sim$7. が確かに成り立ち、よって衝突時刻も有限個となり、 大きさに関する a priori 評価さえあれば、 近似解は有限の時間内で無限回の衝突を起こすことはなく、 無限時刻にまで近似解を伸ばせることがわかる。