5.8 (7.75) の評価

次は、(47)$\sim$(51) の不等式を 用いて (7.75) を示すことを考える。ここも、所々詳細が省略されている。 また、ここでは $k$ の範囲にも注意が必要である。

まず、$V_k(t)$, $Q_k(t)$ は衝突時刻以外では定数であり、よって

  $$V_k(\tau_{j+1}-)=V_k(\tau_{j}+), \hspace{1zw}Q_k(\tau_{j+1}-)=Q_k(\tau_{j}+)$$ (70)

であり、また $0<t<\tau_1$ ではすべての front の世代は 1 なので、

  $$V_k(\tau_1-) = Q_k(\tau_1-) = 0\hspace{1zw}(k\geq 2)$$ (71)

であることに注意する。

(47), (48) より、$k\geq 2$ に対して、

$$\begin{eqnarray*}\Delta V_k(\tau_i) &\leq & \left\{\begin{array}{ll} 0 & \dis... ...ay}\right. \ &\leq & C_0\left[\Delta Q_{k-1}(\tau_i)\right]_{-}\end{eqnarray*}$$

となる。 ここで、 $[x]_{-}=\max\{-x,0\}$, $[x]_{+}=\max\{x,0\}$ とする。 よって、(70), (71) より、 $k\geq 2$ に対して、

  $$V_k(\tau_i+) = V_k(\tau_1-) + \sum_{j=1}^i \Delta V_k(\tau_j) ... ... C_0\sum_{j=1}^i\left[\Delta Q_{k-1}(\tau_j)\right]_{-} \hspace{1zw}(k\geq 2)$$ (72)

となる。 また、(49), (50), (51) より、$k\geq 2$ に対して、

$$\begin{eqnarray*}\Delta Q_k(\tau_i) &\leq & \left\{\begin{array}{ll} -C_0\Del... ...k(\tau_i-) +C_0\left[\Delta Q_{k-1}(\tau_i)\right]_{-}V(\tau_i-)\end{eqnarray*}$$

となり、この最後の式の右辺は 0 以上なので、

  $$\left[\Delta Q_k(\tau_i)\right]_{+} \leq C_0\left[\Delta Q(\ta... ...) +C_0\left[\Delta Q_{k-1}(\tau_i)\right]_{-}V(\tau_i-) \hspace{1zw}(k\geq 2)$$ (73)

が得られる。 ここで、(23) より、

  $$V(\tau_i-)\leq \Upsilon(\tau_i-)\leq \Upsilon(0+)$$ (74)

となり、また、(7), (10) より $\Delta Q(\tau_i)\leq 0$ で、よって

  $$\sum_{j=1}^i\left[\Delta Q(\tau_j)\right]_{-} = -\sum_{j=1}^i\Delta Q(\tau_j) \leq Q(\tau_1-) = Q(0+) \leq \frac{\Upsilon(0+)}{C_0}$$ (75)

となるので、

  $$\tilde{V}_k = \sup_{j\geq 1} V_k(\tau_j-) \hspace{1zw}(k\geq 1)$$ (76)

と書くことにすると、(70), (71), (73), (74), (75), (76) より、 $k\geq 2$ に対して

$$Q_k(\tau_i+) = Q_k(\tau_1-) + \sum_{j=1}^i \Delta Q_k(\tau_j) \leq\ \sum_{j=1}^i\left[\Delta Q_k(\tau_j)\right]_{+}$$

$$\leq \Upsilon(0+)\tilde{V}_k +C_0\Upsilon(0+)\sum_{j=1}^i\left[\Delta Q_{k-1}(\tau_i)\right]_{-} \hspace{1zw}(k\geq 2)$$ (77)

となる。 また、$k\geq 2$ に対しては、(71) より

$$0 \leq Q_k(\tau_i+) = Q_k(\tau_1-) + \sum_{j=1}^i \Delta Q_k(\ta... ...Delta Q_k(\tau_j)\right]_{+} -\sum_{j=1}^i \left[\Delta Q_k(\tau_j)\right]_{-}$$

となるので、

  $$\sum_{j=1}^i \left[\Delta Q_k(\tau_j)\right]_{-} \leq\sum_{j=1}^i \left[\Delta Q_k(\tau_j)\right]_{+} \hspace{1zw}(k\geq 2)$$ (78)

がわかる。よって、

  $$\tilde{Q}_k = \sum_{j=1}^\infty\left[\Delta Q_k(\tau_j)\right]_{+} \hspace{1zw}(k\geq 1)$$ (79)

と書くことにすれば、 (77), (78) より、

  $$Q_k(\tau_i+)\leq \tilde{Q}_k \hspace{1zw}(k\geq 2), \hspace{1zw... ...q \Upsilon(0+)\tilde{V}_k+C_0\Upsilon(0+)\tilde{Q}_{k-1} \hspace{1zw}(k\geq 3)$$ (80)

が得られる。一方、(72), (78) より、$k\geq 3$ に対して

  $$\tilde{V}_k\leq C_0\tilde{Q}_{k-1}\hspace{1zw}(k\geq 3)$$ (81)

となるから、

  $$\gamma = 2C_0\Upsilon(0+)$$ (82)

と書けば、$k\geq 3$ に対して

  $$\tilde{Q}_k \leq\gamma\tilde{Q}_{k-1} \hspace{1zw}(k\geq 3)$$ (83)

が得られることになる。

ちなみに、$\tilde{Q}_1$ は、 $\Delta Q_1(\tau_j)=\Delta Q(\tau_j)<0$ より $$\left[\Delta Q_1(\tau_j)\right]_{+}=0$$ なので、 $\tilde{Q}_1=0$ となる。

次は、$\tilde{V}_2$, $\tilde{Q}_2$ の評価を考える。 (48) より

$$\Delta V_2(\tau)\leq -C_0\Delta Q_1(\tau) = -C_0\Delta Q(\tau)$$

となるので、(71) より

$$V_2(\tau_i+) = V_2(\tau_1-)+\sum_{j=1}^i\Delta V_2(\tau_j) \leq -C_0\sum_{j=1}^i\Delta Q(\tau) \leq C_0 Q(\tau_1-) = C_0 Q(0+)$$

よって、

  $$\tilde{V}_2 =\sup_{j\geq 1}V_2(\tau_j-) \leq C_0Q(0+) \leq \Upsilon(0+)$$ (84)

となる。 一方、(50), (51), (74), および $\Delta Q(\tau_j)\leq 0$ より、

  $$\Delta Q_2(\tau_j) \leq -C_0\Delta Q(\tau_j)V(\tau_j-) \leq -C_0\Delta Q(\tau_j)\Upsilon(0+)$$ (85)

となるので、

$$\tilde{Q}_2 = \sum_{j=1}^\infty\left[\Delta Q_2(\tau_j)\right]_{+} \leq\ -C_0\Upsilon(0+) \sum_{j=1}^\infty\Delta Q(\tau_j) \leq\ C_0\Upsilon(0+)Q(\tau_1-)$$

$$\leq \Upsilon(0+)^2$$ (86)

となる。

(82), (83), (86) により、 $k\geq 2$ に対して

  $$\tilde{Q}_k \leq\gamma^{k-2}\tilde{Q}_2 \leq\gamma^{k-2}\Upsilon(0+)^2 =\frac{\gamma^{k-1}\Upsilon(0+)}{2C_0}$$ (87)

となるので、 (21), (80) により $k\geq 2$ に対して、

  $$Q_k(\tau_i+)\leq \tilde{Q}_k \leq\frac{\gamma^{k-1}}{2C_0}\delta_2 \hspace{1zw}(k\geq 2)$$ (88)

となり、また、 (81), (87) より、$k\geq 3$ に対して、

$$\tilde{V}_k \leq C_0\tilde{Q}_{k-1} \leq \frac{\gamma^{k-2}}{2}\Upsilon(0+)$$

となるので、(21) より $k\geq 3$ に対して、

  $$V_k(\tau_i+)\leq \tilde{V}_k \leq \gamma^{k-2}\delta_2$$ (89)

が成り立つ。 なお、(84) より、 この (89) は $k=2$ に対しても 成立することがわかる。

この (88), (89) が [1] の (7.75) (p142) に対応するものであるが、 実際には少し係数や指数などが違っている。 それは、主に [1] の (7.72) (p141) と、 上の (75) の違いに起因している。 [1] は「 $Q(0)\leq\Upsilon(0)$」としているが、 多分正しくは「 $Q(0+)\leq\Upsilon(0+)/C_0$」であろう。 そのため (7.73), (7.74) の係数が少し上とは違っていて、 それでこのような違いが現れているようである。 ただし、この間違いは、この後の命題の真偽を変えるほどの 実質的なものではない。