5.4.0.4 [S-2] の場合

この場合、 $\bar{\sigma}_j=\sigma'_j+\sigma''_j$ は $k'$, $k''$ の 小さい方の世代で、$\sigma_{np}$ は少なくとも $k$ 以上の世代となる。

よって、 $\Delta V_k(\tau)$ の方は (54) より $Go(\bar{\sigma}_j)\leq k-1$ なので、

$$\Delta V_k(\tau) = \vert\sigma_{np}\vert-\varepsilon\vert\sigma'_j\vert-\varepsilon'\vert\sigma''_j\vert \leq \vert\sigma_{np}\vert$$

となり、Lemma 7.2 (iii) より (53) の 1 本 目が得られる。

$\Delta Q_{k-1}(\tau)$ の方は、[A-2] 同様に

$$\begin{array}{l} \Delta Q_{k-1}(\tau) = -\vert\sigma'_j\sigma''_... ...ert\sigma''_j\vert)-\vert\sigma''_j\vert(S''_j-\vert\sigma'_j\vert) \end{array}$$

とすると、 1. の $\sigma'_j<0$, $\sigma''_j<0$ の場合は、 (55) より $k'=\bar{k}<k-1\leq k''$ なら

$$\bar{S}_j = S'_j-\vert\sigma''_j\vert\leq S''_j-\vert\sigma'_j\vert$$

で、よって

$$I^{k-1}_j = (\vert\sigma'_j+\sigma''_j\vert-\vert\sigma'_j\vert-\vert\sigma''_j\vert)(S'_j-\vert\sigma''_j\vert) \leq 0$$

となる。 $k''=\bar{k}<k-1\leq k'$ の場合は $\sigma'_j$ と $\sigma''_j$ 等が 入れかわるだけ。

3. の $\sigma'_j<0$, $\sigma''_j>0$, $\bar{\sigma}_j=\sigma'_j+\sigma''_j<0$ の場合は、 $k'=\bar{k}<k-1\leq k''$ なら $\bar{S}_j=S'_j-\vert\sigma''_j\vert$ で、 $k''=\bar{k}<k-1\leq k'$ なら $\bar{S}_j\leq S'_j-\vert\sigma''_j\vert$ なので、 いずれの場合も

$$\begin{eqnarray*}I^{k-1}_j &\leq& (\vert\sigma'_j+\sigma''_j\vert-\vert\sigma... ...j(S'_j-\vert\sigma''_j\vert+S''_j-\vert\sigma'_j\vert) \leq 0\end{eqnarray*}$$

となる。5. は 3. の入れかえなので同様。

4. の $\sigma'_j<0$, $\sigma''_j>0$, $\bar{\sigma}_j=\sigma'_j+\sigma''_j\geq 0$ の場合、 $\bar{\sigma}_j=0$ ならば当然 $I^{k-1}_j\leq 0$ なので $\bar{\sigma}_j>0$ とすると、 $k'=\bar{k}<k-1\leq k''$ なら $\bar{S}_j\leq S''_j-\vert\sigma'_j\vert$, $k''=\bar{k}<k-1\leq k'$ なら $\bar{S}_j= S''_j-\vert\sigma'_j\vert$ なので、 いずれの場合も

$$\begin{eqnarray*}I^{k-1}_j &\leq& (\vert\sigma'_j+\sigma''_j\vert-\vert\sigma... ...j(S''_j-\vert\sigma'_j\vert+S'_j-\vert\sigma''_j\vert) \leq 0\end{eqnarray*}$$

となる。6. は 4. の入れかえなので同様。

よっていずれの場合もすべて $I^{k-1}_j\leq 0$ となり、

$$\Delta Q_{k-1}(\tau) \leq -\vert\sigma'_j\sigma''_j\vert+\vert\sigma_{np}\vert V(\tau-)$$

となるので、Lemma 7.2 (iii) より (53) の 2 本目が得られる。