3.7 バロトロピックのオイラー座標系の場合の例

2.5 節の最後に書いたように、 オイラー座標系での保存則方程式の圧力を $\rho$ のみの関数 $P=P(\rho)$ とみて、質量保存則 (2.10) と 運動量保存則 (2.15) のみで 閉じた系と考えることも多い。ここでは、その場合を考えてみる。 この場合は通常等エントロピー流: $P=A\rho^\gamma$ ($1<\gamma<3$) や等温流: $P=A\rho$ を想定していることが多く、

$$P'(\rho)>0,\hspace{1zw}P''(\rho)\geq 0$$

を仮定する場合が多い。

まず、方程式を $U={\,}^T\!(\rho,u)$ の方程式に書き直すと、 3.5 節の計算により、 $u$ に関する方程式がこの場合は

$$u_t+uu_x+\frac{P_x}{\rho}=u_t+uu_x+\frac{P'(\rho)}{\rho}\rho_x=0$$

となるので、$U$ に関して

$$\left[\begin{array}{c}\rho\\ u\end{array}\right]_t +\left[\b... ...}\right] \left[\begin{array}{c}\rho\\ u\end{array}\right]_x =0$$

と書ける。

$$\left\vert\begin{array}{cc} \lambda-u & -\rho \\ [.5zh] \d... ...{\rho} & \lambda-u \end{array}\right\vert=(\lambda-u)-P'(\rho)$$

より、$P'(\rho)>0$ の仮定の元で、固有値は

$$\lambda_1=u-\sqrt{P'(\rho)}, \hspace{1zw} \lambda_2=u+\sqrt{P'(\rho)}$$

で、固有ベクトルは $r=c_2{\,}^T\!(\rho,\lambda-u)$ より、

$$r_1=\left[\begin{array}{c}-\rho\\ \sqrt{P'}\end{array}\right... ...w}r_2=\left[\begin{array}{c}\rho\\ \sqrt{P'}\end{array}\right]$$

となり、

$$\nabla_U\lambda_1 = \left(\frac{P''}{2\sqrt{P'}},1\right), \... ...1zw} \nabla_U\lambda_2 = \left(\frac{P''}{2\sqrt{P'}},1\right)$$

で、

$$\nabla_U\lambda_1\cdot r_1=-\frac{\rho P''}{2\sqrt{P'}}-\sqr... ...zw} \nabla_U\lambda_2\cdot r_2=\frac{\rho P''+2P'}{2\sqrt{P'}}$$

となるので、 $\rho P''+2P'>0$ ならば 1-特性方向も 2-特性方向も 真性非線形となる。 $P=A\rho^\gamma$ ($\gamma\geq 1$) の場合であれば、

$$\rho P''+2P' = A\gamma(\gamma+1)\rho^{\gamma-1}$$

なので確かに正となる。

リーマン不変量は、

$$\nabla w\cdot r_1 =-\rho w_\rho +\sqrt{P'} w_u =-\sqrt{P'}\left(\frac{\rho}{\sqrt{P'}}w_\rho - w_u\right) =0$$

より、

$$\frac{d \rho}{d s}=\frac{\rho}{\sqrt{P'}}, \hspace{1zw} \frac{d u}{d s}=-1, \hspace{1zw}(\rho(0),u(0))=(\rho_0,u_0)$$

を解いて、

$$u=u_0-s, \hspace{1zw} \int_{\rho_0}^\rho\frac{\sqrt{P'(\xi)}}{\xi}d\xi = s$$

となるので、

$$u+\int_{a}^\rho \frac{\sqrt{P'(\xi)}}{\xi}d\xi = u_0+\int_{a}^{\rho_0} \frac{\sqrt{P'(\xi)}}{\xi}d\xi$$

となるので、この左辺が 1-リーマン不変量となる。 同様に、2-リーマン不変量は、

$$u-\int_{a}^\rho \frac{\sqrt{P'(\xi)}}{\xi}d\xi$$

となる。

$(\lambda_1(U(s)))'<0$ なのでパラメータ $s<0$ となり、 よって 1-膨張波曲線 $R_1(U_0)$ は、

$$u=u_0-\int_{\rho_0}^\rho \frac{\sqrt{P'(\xi)}}{\xi}d\xi \hspace{1zw}(\rho\leq\rho_0,\ u\geq u_0)$$ (3.45)

2-膨張波曲線 $R_2(U_0)$ は $(\lambda_2(U(s)))'>0$ より $s>0$ なので

$$u=u_0+\int_{\rho_0}^\rho \frac{\sqrt{P'(\xi)}}{\xi}d\xi \hspace{1zw}(\rho\geq\rho_0,\ u\geq u_0)$$ (3.46)

となる。

図 3.5: $(\rho ,u)$ 平面での膨張波曲線 $R_1(U_0)$, $R_2(U_0)$

$P=A\rho^\gamma$ ($\gamma\geq 1$) の場合で言えば、

$$\int\frac{\sqrt{P'(\rho)}}{\rho}d\rho = \left\{\begin{array... ...sqrt{A}\log\rho & (\mbox{$\gamma=1$\ のとき})\end{array}\right.$$

なので、$\gamma>1$ と $\gamma=1$ とで $\rho \rightarrow +0$ のときの挙動が異なり、 $R_1(U_0)$ は、 $\rho \rightarrow +0$ のときに

$$u\rightarrow \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u_0+\fr... ...[.5zh] +\infty & (\mbox{$\gamma=1$\ のとき})\end{array}\right.$$

となる。つまり、$\gamma>1$ のときは $R_1(U_0)$ は $\rho \rightarrow +0$ のときに有限の $u$ のところで $u$ 軸に当たって止まるが、 $\gamma=1$ のときには $R_1(U_0)$ は $u$ 軸を漸近線として無限に伸びる。

なおこの違いは、リーマン問題が真空状態 ($\rho=0$) を解として 含むかどうかに関係する。

また、$R_1(U_0)$ の場合は (3.26) により、

$$\frac{d U}{d \rho} =\frac{d}{d \rho}\left[\begin{array}{c}\r... ...c}1\\ -\sqrt{P'}/\rho\end{array}\right] =-\frac{1}{\rho}r_1(U)$$

であるから、 $\rho=\rho_0e^{-\delta}$ とすれば $\delta\geq 0$ で、

$$\frac{d U}{d \delta}=\frac{d U}{d \rho}\,\frac{d \rho}{d \delta} =-\frac{1}{\rho}r_1(U)\rho_0(-e^{-\delta}) =r_1(U)$$

となり、$R_2(U_0)$ の場合は (3.27) により、

$$\frac{d U}{d \rho} =\frac{d}{d \rho}\left[\begin{array}{c}\r... ...}{c}1\\ \sqrt{P'}/\rho\end{array}\right] =\frac{1}{\rho}r_2(U)$$

であるから、 $\rho=\rho_0e^{\delta}$ とすれば $\delta\geq 0$ で、

$$\frac{d U}{d \delta}=\frac{d U}{d \rho}\,\frac{d \rho}{d \delta} =\frac{1}{\rho}r_2(U)\rho_0e^\delta =r_2(U)$$

となる。

$\lambda_1(U)=x/t$ に (3.26) を代入すると、

$$\lambda_1(U) =u-\sqrt{P'(\rho)} =u_0-\int_{\rho_0}^\rho \frac{\sqrt{P'(\xi)}}{\xi}d\xi -\sqrt{P'(\rho)} \frac{x}{t}$$ (3.47)

となるので、これを $\rho$ について解けば、 そしてそれを (3.26) に代入すれば $U$ を $(t,x)$ の式で表される。

例えば $P=A\rho^\gamma$ ($1<\gamma<3$) の場合、 (3.28) は

$$u_0 -\frac{\sqrt{A\gamma}}{\theta}\rho^\theta +\frac{\sqrt{A... ...}{\theta}\rho_0^\theta -\sqrt{A\gamma}\rho^\theta =\frac{x}{t}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\sqrt{A\gamma}\rho^\theta &=& \frac{\theta}{1+\theta} \left(... ...a}}{\theta}\rho_0^\theta\right) +\frac{1}{1+\theta}\,\frac{x}{t}\end{eqnarray*}$$

のようになる。 また、$P=A\rho$ のときは (3.28) は

$$u_0-\sqrt{A}\log\rho+\sqrt{A}\log\rho_0-\sqrt{A}=\frac{x}{t}$$

より、この場合は

$$\begin{eqnarray*}\sqrt{A}\log\rho &=& u_0+\sqrt{A}\log\rho_0-\sqrt{A}-\frac{x}{t... ...& u_0+\sqrt{A}\log\rho_0-\sqrt{A}\log\rho = \sqrt{A}+\frac{x}{t}\end{eqnarray*}$$

となる。

同様に、$R_2(U_0)$ は、

$$\lambda_2 =u+\sqrt{P'} =u_0+\int_{\rho_0}^\rho\frac{\sqrt{P'(\xi)}}{\xi}d\xi+\sqrt{P'} =\frac{x}{t}$$

となるから、 $P=A\rho^\gamma$ ($1<\gamma<3$) の場合は、

$$\begin{eqnarray*}\sqrt{A\gamma}\rho^\theta &=& \frac{\theta}{1+\theta} \left(... ...a}}{\theta}\rho_0^\theta\right) +\frac{1}{1+\theta}\,\frac{x}{t}\end{eqnarray*}$$

$P=A\rho$ の場合は、

$$\begin{eqnarray*}\sqrt{A}\log\rho &=& -u_0+\sqrt{A}\log\rho_0-\sqrt{A}+\frac{x}{t}\\ u &=& -\sqrt{A}+\frac{x}{t}\end{eqnarray*}$$

となる。