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1 1 次元波動方程式と移流方程式

2 階の線形偏微分方程式

$\begin{displaymath} u_{tt}-a^2 u_{xx}=0 \hspace{1zw}(u=u(t,x),\ a\mbox{ は正の定数})\end{displaymath}$

(1)

は、上下に小さく運動する弦の振動などをあらわす方程式で、1 次元波動方程式と呼ばれる。弦の振動の場合は

は時刻、

は場所、

は弦の高さを意味する。

**図 1:** 弦の振動
$\includegraphics[width=\textwidth]{image/string.eps}$

ただし、大きい振幅に対しては、この方程式を満たす関数と物理現象とは必ずしも対応しない。それはこの方程式をどのようにして導くかを見ればわかる。方程式の導出については [8], [11] などを参照せよ。

今、偏微分を微分演算子を用いて

$\begin{displaymath} D_t=\frac{\partial}{\partial t},\ D_x=\frac{\partial}{\partial x} \end{displaymath}$

のように書くことにすると (1) は

$\begin{displaymath} (D_t^2 - a^2 D_x^2)u = 0 \end{displaymath}$

と書け、

は定数なので、微分演算子に対して成り立つ公式

$\begin{displaymath} D_t^2 - a^2 D_x^2 = (D_t - aD_x)(D_t + aD_x) =(D_t + aD_x)(D_t - aD_x) \end{displaymath}$

により、

$\begin{displaymath} (D_t - aD_x)(D_t + aD_x) u =(D_t + aD_x)(D_t - aD_x) u = 0 \end{displaymath}$

が成り立つ。この式から明らかに、1 階の偏微分方程式

$\begin{displaymath} (D_t+a D_x)u=0\end{displaymath}$

(2)

または

$\begin{displaymath} (D_t-a D_x)u=0\end{displaymath}$

(3)

を満たす関数

は (1) の解であることがわかる。この逆、すなわち (1) を満たせば (2) または (3) を満たす、ということはもちろん成り立たない。

この (2), (3) はそれぞれ次のような解を持つ。

$\displaystyle u(t,x)$	$\textstyle =$	$\displaystyle f(x-at)$	(4)
$\displaystyle u(t,x)$	$\textstyle =$	$\displaystyle g(x+at)$	(5)

ただし、

は滑らかな任意の関数である。これらがそれぞれ (2), (3) を満たすことは偏微分の計算により容易に確かめられる。

今、(4) をの関数と考えると、この関数はのグラフを右に平行移動したものになっている。つまり、グラフの形は変わらずに、右に 1 秒当たり ( の単位を秒とすれば) cm だけ ( の単位を cm とすれば) 平行移動したことになり、すなわち、速度 [cm/秒] で平行移動している、とみなすことができる。これは右へ進む ``波'' と見ることができる。