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2 特性曲線

まず移流方程式

$\begin{displaymath} u_t+a u_x=0 \hspace{1zw}(a \mbox{ は定数})\end{displaymath}$

(7)

を解いて、その解が

$\begin{displaymath} u(t,x)=f(x-at)\end{displaymath}$

(8)

となることを示す。それには特性曲線を用いる。

まず、問題をもう少し明確にする。

関数の初期値 (initial value) ( のときの値) をとする。

$\begin{displaymath} u(0,x)=f(x) \hspace{1zw}(\mbox{すべての実数 $x$\ に対して}) \end{displaymath}$ (9)
方程式 (7) は、すべての実数と、 $t\geq 0$ の範囲にあるすべてのに対して成り立つと考える。

この条件の元で、解

を

を使ってあらわすと (8) が得られることを示す。なおこの問題は、初期値を与えて解を求める、という形であり、これは 初期値問題 (initial value problem)、あるいはこの問題を詳しく研究した人にちなんで コーシー問題 (Cauchy problem) と呼ばれる。

今、平面上にという直線を取る。

**図 3:**
$\includegraphics{image/char1.eps}$

1 節でをの関数とみて、の変化によるグラフの移動という考察を行ったが、それと同様に考えてみる。すなわち、この平面上の直線を座標についてみれば、これは各に対し一つのの値、すなわち軸上の一点を表していて、それがの変化につれて動いているとみなすことができる。すなわち、は軸を動く点の座標を表していると考えられる。

**図 4:** 点の移動
$\includegraphics{image/pntmove.eps}$

そうすると、この点は時刻でを出発し、

$\begin{displaymath} \frac{dx}{dt}=a \end{displaymath}$

により、速度

[cm/秒] で右に移動していることになる。

もし、解が (8) のようになるのだとすると、これは 1 節でみたようにのグラフを速度 [cm/秒] で右に平行移動しているものだから、この点の上でのの値を調べると、平行移動していくグラフを同じ速度で動く点で値を見ることになるから、時間の変化に対して、その値は変化しないように見えるであろう。

逆に、速度で移動するどの点でみてもの値が変化していなければ、それはグラフの形を変えずに速度で平行移動しているものといえるだろう。このようなやりかたで考えてみる。

この直線上の点でのの値をとおく。

$\begin{displaymath} v(t)=u(t,at+x_0) \end{displaymath}$

このとき、合成関数の偏微分法則により、

$\displaystyle \frac{d }{d t}v(t)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{d }{d t} u(t,at+x_0)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(t,at+x_0)\frac{d t}{d t}+\frac{\partial u}{\partial x}(t,at+x_0)\frac{d (at+x_0)}{d t}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle u_t(t,at+x_0)+a u_x(t,at+x_0)$	(10)