8.3 特性方向の差分

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8.3 特性方向の差分

前節で述べた方法は、偏微分をそれぞれ縦横の方向に差分化して考える方法であるが、方程式 (35) の左辺を、特性曲線の方向に斜めに考える方法もある。ここではそれを考えてみる。 2 節で見たように、

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}u(t,at+x_0) = \left. (u_t+ a u_x)\right\vert _{x=at+x_0} \end{displaymath}$

であったが、この式の差分化を行えば

$\begin{displaymath} \frac{u(t+h,a(t+h)+x_0)-u(t,at+x_0)}{h}\approx \left. (u_t+ a u_x)\right\vert _{x=at+x_0}, \end{displaymath}$

すなわち、

を

とすれば

$\begin{displaymath} \frac{u(t+h,x+ah)-u(t,x)}{h}\approx u_t(t,x)+ a u_x(t,x) \end{displaymath}$

が成り立つことがわかる。これを用いると方程式 (35) は

$\begin{displaymath} \frac{u(t+h,x+ah)-u(t,x)}{h}\approx f(t,x) \end{displaymath}$

すなわち

$\begin{displaymath} u(t+h,x+ah)\approx u(t,x)+hf(t,x) \end{displaymath}$

となるので、 $\Delta t=h$ , $\Delta x=ah$ とし、 $u^n_j=u(n\Delta t,j\Delta x)$ とすれば

$\begin{eqnarray*} u^{n+1}_{j+1} & = & u((n+1)\Delta t,(j+1)\Delta x) \\ & = &... ... = & u^n_j + \Delta t f^n_j \ \ (f^n_j = f(n\Delta t,j\Delta x)) \end{eqnarray*}$

と計算できることになる。

これをさらに発展させて、波動方程式の初期値問題

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-a^2 u_{xx} = f(t,x) & (t>0... ...y) \\ u_t(0,x)= h(x) & (-\infty<x<\infty) \end{array}\right.\end{displaymath}$

(39)

の差分近似を考えてみる (

)。 1 節で見たように

$\begin{displaymath} u_{tt}-a^2 u_{xx} = \left(\frac{\partial }{\partial t}+a\fra... ...rtial }{\partial t}-a\frac{\partial }{\partial x}\right)u(t,x) \end{displaymath}$

であり、よって $v(t,x)=u_t(t,x)-au_x(t,x) =(\partial/\partial t-a\partial/\partial x)u(t,x)$ とおけば

$\begin{displaymath} u_{tt}-a^2 u_{xx}=\left(\frac{\partial }{\partial t}+a\frac{\partial }{\partial x}\right)v \end{displaymath}$

となるので、方程式は

$\begin{displaymath} v_t(t,x)+av_x(t,x)=f(t,x) \end{displaymath}$

となる。これは

に関する移流方程式なので、これを特性方向に差分化すると

$\begin{displaymath} \frac{v(t+\Delta t,x+a\Delta t)-v(t,x)}{\Delta t}\approx f(t,x)\end{displaymath}$

(40)

となる。一方、

も、

に関する移流方程式とみれば、特性速度が

から

に変わっているだけなので、

$\begin{displaymath} \frac{u(t+\Delta t,x-a\Delta t)-u(t,x)}{\Delta t}\approx v(t,x)\end{displaymath}$

(41)

と差分化でき、よって、この式で

を $t+\Delta t$ 、

を $x+a\Delta t$ とすれば

$\begin{displaymath} \frac{u(t+2\Delta t,x)-u(t+\Delta t,x+a\Delta t)}{\Delta t} \approx v(t+\Delta t,x+a\Delta t) \end{displaymath}$

(42)

という式も得られる。簡単のため

とすると (41),(42) の左辺はそれぞれ

$\begin{displaymath} \frac{u(P^{\Delta t}_{-a\Delta t})-u(P^0_0)}{\Delta t},\ \ \frac{u(P^{2\Delta t}_0)-u(P^{\Delta t}_{a\Delta t})}{\Delta t} \end{displaymath}$

なので、 (41), (42) を式 (40) に代入すると

$\begin{eqnarray*} && \frac{ \displaystyle \frac{u(P^{2\Delta t}_{0}) -u(P^{\De... ...t}_{-a\Delta t})+u(P^0_0)}{\Delta t^2} \\ & \approx & f(P^0_0) \end{eqnarray*}$

となる。これにより、波動方程式 (39) は

$\begin{displaymath} u(P^{2\Delta t}_{0})\approx u(P^{\Delta t}_{a\Delta t}) +u(P^{\Delta t}_{-a\Delta t})-u(P^0_0) + \Delta t^2 f(P^0_0), \end{displaymath}$

すなわち、 $\Delta x=a\Delta t$ として、 $u^n_j=u(n\Delta t,j\Delta x)$ とすれば

$\begin{displaymath} u^{n+2}_j=u^{n+1}_{j+1}+u^{n+1}_{j-1}-u^n_j+\Delta t^2 f^n_j \ \ (f^n_j=f(n\Delta t,j\Delta x)) \end{displaymath}$

と近似計算できることになる。

この式による計算は、すなわち $t=2\Delta t$ に対するの近似値を求めることから始まるので、 $u^1_j\ (t=\Delta t)$ , $u^0_j\ (t=0)$ の値は別に求める必要があるが、これらは初期値より計算でき、は

$\begin{displaymath} u^0_j = u(0,j\Delta x) = g(j\Delta x) \end{displaymath}$

から、また、 $u^1_j=u(\Delta t,j\Delta x)$ は

$\begin{displaymath} \frac{u(\Delta t,j\Delta x)-u(0,j\Delta x)}{\Delta t}\approx u_t(0,j\Delta x)=h(j\Delta x) \end{displaymath}$

と考えれば

$\begin{displaymath} \frac{u^1_j-u^0_j}{\Delta t}=h(j\Delta x) \end{displaymath}$

により求められる。

波動方程式 (39) の数値計算には、ほかにも、縦横の差分を用いる方法

$\begin{displaymath} \frac{u^{n+1}_j-2u^n_j+u^{n-1}_j}{\Delta t^2} -a^2\frac{u^n_{j+1}-2u^n_j+u^n_{j-1}}{\Delta x^2}=f^n_j \end{displaymath}$

もありこれもよく使われる。この差分は 2 階微分

が

$\begin{eqnarray*} F''(x) & = & \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\displaystyle \fra... ...\\ & = & \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(x+h)-2F(x)+F(x-h)}{h^2} \end{eqnarray*}$

と書けることに基づいている。

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Shigeharu TAKENO
2001年 9月 21日