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6 補完測度法

定理 8 (div-curl 補題) $\Omega(\subset {\mbox{\sl R}}^N)$ を有界開集合、 $v_n, w_n:\Omega\rightarrow {\mbox{\sl R}}^N$ を有界関数列とし、 $v_n\rightarrow v$ , $w_n\rightarrow w$ $L^\infty(\Omega;{\mbox{\sl R}}^N) \mbox{weak$\ast$}$ とする。

このとき、

$\begin{displaymath} \mathop{\rm div}v_n =\sum_{k=1}^N\frac{\partial}{\partial x... ...i}(w_n)_j -\frac{\partial}{\partial x_j}(w_n)_i\right)_{i<j} \end{displaymath}$

が、 $\mbox{$H^{-1}_{\rm loc}(\Omega)$}$ のあるコンパクト集合に含まれるならば、

$\begin{displaymath} v_{n_j}\cdot w_{n_j}=\sum_{k=1}^N(v_{n_j})_k(w_{n_j})_k \r... ...arrow v\cdot w\hspace{1zw}L^\infty(\Omega) \mbox{weak$\ast$} \end{displaymath}$

となる部分列 $\{n_j\}_j$ が存在する。

詳細は [13] 参照のこと。なお、 $\mbox{$H^{-1}_{\rm loc}(\Omega)$}$ は任意の $\phi\in C^\infty_0(\Omega)$ に対して $\phi T\in H^{-1}(\Omega)$ となる $T\in{\cal D}'(\Omega)$ 全体からなる Fréchet 空間。

定義 9

級関数 $\eta(u),q(u):{\mbox{\sl R}}\rightarrow{\mbox{\sl R}}$ が

$\begin{displaymath} q'(u)=\eta'(u)f'(u) \end{displaymath}$

(8)

を満たすとき、 $(\eta(u),q(u))$ を方程式

の エントロピー対と呼び、 $\eta (u)$ をエントロピー、

をエントロピー流速密度という。

もし、

が

の滑らかな解であるときは

$\begin{displaymath} \eta(u)_t+q(u)_x = \eta'(u)u_t+q'(u)u_x = \eta'(u)(u_t+f'(u)u_x) =\eta'(u)(u_t+f(u)_x)=0 \end{displaymath}$

となるので、エントロピー対は新たな保存量を与えるものであることがわかる。

注 10

なお、単独でなく連立の保存則方程式 (1) の場合はエントロピー対 $(\eta(U),q(U))$ は線形の微分方程式系

$\begin{displaymath} \nabla q(U)=\nabla\eta(U) F'(U) \hspace{1zw}(\nabla=(\partial_1,\partial_2,\ldots,\partial_N)) \end{displaymath}$

(9)

で定義され、これは方程式が

本、未知関数 2 個の過剰な方程式系であるのでエントロピー対の存在は一般には自明ではない。

粘性近似解 $u^\varepsilon$ に対しては

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\eta(u^\varepsilon )_t+q(u^\varepsilon )_x}\\ & = ... ... _x)_x -\varepsilon \eta''(u^\varepsilon )(u^\varepsilon _x)^2 \end{eqnarray*}$

となる。ここから $\{\eta(u^\varepsilon )_t+q(u^\varepsilon )_x\}_\varepsilon$ のコンパクト性を示す。

命題 11 ${\mbox{\sl R}}\times(0,\infty)$ の任意の有界開集合 $\Omega$ に対して $\{\eta(u^\varepsilon )_t+q(u^\varepsilon )_x\}_\varepsilon$ は $\mbox{$H^{-1}_{\rm loc}(\Omega)$}$ で相対コンパクト。

この命題の証明には次の 2 つの埋め込み定理を使う。

定理 12 $\Omega(\subset {\mbox{\sl R}}^N)$ が有界開集合,

$\begin{displaymath} A\subset {\cal M}(\Omega)(\equiv \{\mbox{$\Omega$ 上の符号付き Radon 測度}\}=C_0(\Omega)^\ast) \end{displaymath}$

とするとき

$\begin{displaymath} \sup_{\mu\in A,C_0(\Omega)\ni\phi\neq0}\frac{\vert\langle \... ...i\rangle \vert} {\Vert\phi\Vert _{C_0}}\hspace{0.5zw}<\infty \end{displaymath}$

ならば

はソボレフ空間 $W^{-1,p}(\Omega)$ に埋め込まれ、そこで相対コンパクト (ただし

は任意の

)。

定理 13 (Murat の補題) ${\mbox{\sl R}}^N$ の有界な開集合 $\Omega$ および $1<q \leq 2<r<\infty$ なる任意の

に対し

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle (W^{-1,q}(\Omega)\mbox{ の.. ...{-1}_{\rm loc}(\Omega)$}\mbox{ のコンパクト集合}) \end{array} \end{displaymath}$

詳細は [13,21] 参照のこと。

(命題 11 の証明)

$I_1=\varepsilon (\eta'(u^\varepsilon )u^\varepsilon _x)_x$ , $I_2=-\varepsilon \eta''(u^\varepsilon )(u^\varepsilon _x)^2$ とする。

$u^\varepsilon$ は一様有界なので $\eta''(u^\varepsilon )$ も有界で、命題 1 より

$\begin{displaymath} \Vert\sqrt{\varepsilon }u^\varepsilon _x\Vert _{L^2}\leq C \end{displaymath}$

なので、任意の $\phi\in C_0(\Omega)$ に対して

$\begin{displaymath} \left\vert\int\hspace{-6pt}\int _\Omega I_2\phi dxdt\right\vert\leq C_1\Vert\phi\Vert _{C(\Omega)} \end{displaymath}$

となる。よって

は $C_0(\Omega)^\ast={\cal M}(\Omega)$ で有界、と見ることができ、定理 12 により

である

に対し $\{I_2\}_{\varepsilon }$ は $W^{-1,q}(\Omega)$ のあるコンパクト集合に含まれる。

または、Schwarz の不等式により任意の $\phi\in C_0^1(\Omega)$ に対し

$\begin{displaymath} \left\vert\int\hspace{-6pt}\int _\Omega I_1\phi dxdt\right\... ... \Vert\sqrt{\varepsilon }u^\varepsilon _x\Vert _{L^2(\Omega)} \end{displaymath}$

となり、 $\eta'(u^\varepsilon )$ は一様有界、 $\Omega$ は有界で

より

なので

$\begin{displaymath} \Vert\phi_x\Vert _{L^2(\Omega)}\leq C_2(\Omega)\Vert\phi_x\Vert _{L^{q'}(\Omega)} \end{displaymath}$

であり、よって命題 1 より

$\begin{displaymath} \left\vert\int\hspace{-6pt}\int _\Omega I_1\phi dxdt\right\... ...\Omega)} \rightarrow 0\hspace{1zw}(\varepsilon \downarrow 0) \end{displaymath}$

となるので $\{I_1\}_{\varepsilon }$ も $W^{-1,q}(\Omega)$ で相対コンパクトとなる。よって $I_1+I_2=\eta(u^\varepsilon )_t+q(u^\varepsilon )_x$ は $W^{-1,q}(\Omega)$ で相対コンパクトであることがわかる。

一方、 $\eta(u^\varepsilon )$ , $q(u^\varepsilon )$ は一様有界なので、 , $\phi\in C_0^1(\Omega)$ に対して

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\left\vert\int\hspace{-6pt}\int _\Omega(\eta(u^\vare... ...Vert\phi\Vert _{W^{1,r'}_0(\Omega)}\\ && (r'=\frac{r}{r-1}>1) \end{eqnarray*}$

となるので、 $\{\eta(u^\varepsilon )_t+q(u^\varepsilon )_x\}_{\varepsilon }$ は $W^{-1,r}(\Omega)$ で有界であることになる。

よって Murat の補題 (定理 13)により $\{\eta(u^\varepsilon )_t+q(u^\varepsilon )_x\}_{\varepsilon }$ は $\mbox{$H^{-1}_{\rm loc}(\Omega)$}$ で相対コンパクトであることになる。

今、2 つのエントロピー対 $(\eta,q)$ , $(\hat{\eta},\hat{q})$ を考える。これらは連続だから、Young 測度の定理 5 により $\{u^\varepsilon \}_{\varepsilon }$ のある部分列 $\{u^{\varepsilon '}\}_{\varepsilon '}$ に対して

$\begin{eqnarray*} && \eta(u^{\varepsilon '})\stackrel{\ast}{\rightharpoonup}\ba... ...hat{q}-\hat{\eta}q} =\langle\nu,\eta\hat{q}-\hat{\eta}q\rangle \end{eqnarray*}$

となる。

一方、命題 11 により

$\begin{displaymath} \mathop{\rm div}_{(x,t)}(q(u^\varepsilon ),\eta(u^\varepsilo... ...lon )) =\hat{\eta}(u^\varepsilon )_t+\hat{q}(u^\varepsilon )_x \end{displaymath}$

はいずれもある $\mbox{$H^{-1}_{\rm loc}(\Omega)$}$ のコンパクト集合に含まれるので、 div-curl 補題により $\{u^{\varepsilon '}\}_{\varepsilon '}$ のある部分列 $\{u^{\varepsilon ''}\}_{\varepsilon ''}$ に対して

$\begin{displaymath} \{(q,\eta)\cdot(-\hat{\eta},\hat{q})\}(u^{\varepsilon ''}) =... ...ightharpoonup} \bar{\eta}\bar{\hat{q}}-\bar{\hat{\eta}}\bar{q} \end{displaymath}$

となる。以上により

$\begin{displaymath} \overline{\eta\hat{q}-\hat{\eta}q} =\bar{\eta}\bar{\hat{q}}-\bar{\hat{\eta}}\bar{q} \hspace{1zw}\mbox{a.e. $(x,t)$}\end{displaymath}$

(10)

が得られる。この式 (10) は

$\begin{displaymath} \langle\nu,\left\vert\begin{array}{ll}\eta&q \hat{\eta}&\h... ...\eta}\rangle &\langle\nu,\hat{q}\rangle \end{array}\right\vert \end{displaymath}$

とも書かれ、Tartar 方程式 と呼ばれる。方程式

が線形である場合 ( $f''(u)\equiv 0$ ) この Tartar 方程式は自明なものとなるが、非線形の場合には必ずしもそうではなく、この方程式から $\nu=\delta_{\bar{u}}$ であることを導くことができる。これを次節で述べる。

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Shigeharu TAKENO
2001年 12月 17日