Next: 6 補完測度法 Up: compensated compactness と保存則方程式について Previous: 4 単独保存則方程式 (PDF ��: paper10.pdf)

5 Young 測度

定理 5 $\Omega(\subset{\mbox{\sl R}}^M)$ を開集合, $K (\subset{\mbox{\sl R}}^N)$ を有界集合とし、 $v_n: \Omega\rightarrow R^N$ が可測関数列で $v_n(x)\in K$ (a.e. $x\in\Omega$ ) であるならばある部分列 $\{v_{n_j}\}_j$ , および ${\mbox{\sl R}}^N$ 上のある確率測度 (全測度 1 の非負 Borel 測度) の族 $\{\nu_x(y)\}_{\mbox{\scriptsize a.e.}x\in\Omega}$ が存在し、次を満たす。

$\mathop{\rm supp}_y \nu_x(y)\subset \bar{K}$
${\mbox{\sl R}}^N$ 上の任意の連続関数に対し、

$\begin{displaymath} G(v_{n_j}(x))\rightarrow\int_{{\mbox{\scriptsize\sl R}}^N}G(y)d\nu_x(y) \hspace{1zw}L^\infty(\Omega)\mbox{weak$\ast$} \end{displaymath}$

詳細は [13,21] 参照のこと。

この確率測度の族 $\{\nu_x(y)\}$ を $\{v_{n_j}\}_j$ に対する Young 測度 という。以後、Young 測度による積分

$\begin{displaymath} \int_{{\mbox{\scriptsize\sl R}}^N}G(y)d\nu_x(y) \end{displaymath}$

( $\nu$ の添字

の関数となる) を $\bar{G}(x)$ や $\langle \nu_x(y),G(y)\rangle$ のように書くこととする。

なお、Young 測度が全測度 1 である必然性は $G(y)\equiv$ 定数とすれば容易にわかるだろう。

例 6

$v_n\rightarrow v$ が強い意味での収束であるならば (例えば a.e. 収束)

$\begin{displaymath} G(v_n)\rightarrow G(v(x)) \end{displaymath}$

であり、一方

$\begin{displaymath} G(v_n)\stackrel{\ast}{\rightharpoonup}\langle \nu_x(y),G(y)\rangle \end{displaymath}$

なので $\langle \nu_x(y),G(y)\rangle =G(v(x))$ となり、よって

$\begin{displaymath} \nu_x(y)=\delta_{v(x)}(y) (=\mbox{$v(x)$ 中心の $\delta$-測度}) \end{displaymath}$

となる。

なお、逆に $\nu_x(y)=\delta_{v(x)}(y)$ であったとすると、

$\begin{displaymath} v_{n_j}\stackrel{\ast}{\rightharpoonup}\bar{v},\hspace{1zw}v_{n_j}^2\stackrel{\ast}{\rightharpoonup}\bar{v}^2 \end{displaymath}$

となり、 $\bar{v}(x)$ は有界なので、任意の有界集合 $O(\subset\Omega)$ に対して

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\int_\Omega\raisebox{.18em}{\mbox{$\chi$}}_{O}(x)\ve... ...-2\bar{v}\raisebox{.18em}{\mbox{$\chi$}}_{O}(x)\in L^1(\Omega)) \end{eqnarray*}$

となり、よって (必要なら部分列を取れば) $v_{n_j}\rightarrow\bar{v}$ a.e. となる。

例 7

例 4 で取り上げた $v_n = \cos nx$ に対する Young 測度を決定する (cf.[13])。

$\phi\in C_0(R)$ としを連続関数とする。

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\phi(x)G(\cos nx)dx =... ...\infty \phi\left(\frac{z}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right\} dz \end{eqnarray*}$

と変形すると $\phi$ の中身は $2k\pi/n < z/n+2k\pi/n < 2(k+1)\pi/n$ であり、 $\phi\in C_0(R)$ なので積分の中カッコの部分は $n\rightarrow\infty$ のときに $\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\phi dx$ に収束しかつ一様有界、よって Lebesgue の収束定理により

$\begin{displaymath} \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\phi(x)G(\cos nx)dx\rightarro... ..._{\mbox{\scriptsize\sl R}}\phi(x)dx \int_0^{2\pi}G(\cos z)dz \end{displaymath}$

となる。これは

$\begin{displaymath} G(\cos nx)\rightarrow \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}G(\cos z)dz \hspace{1zw}L^\infty\mbox{weak$\ast$} \end{displaymath}$

を意味し、この場合極限は

によらない定数となる。ここで

$\begin{displaymath} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}G(\cos z)dz = \frac{1}{\pi}\int... ... z)dz = \frac{1}{\pi}\int_{-1}^1\frac{G(v)}{\sqrt{1-v^2}} dv \end{displaymath}$

なので、結局 $\{\cos nx\}$ に対する Young 測度は

$\begin{displaymath} \nu_x(v)=\chi_{(-1,1)}(v)\frac{1}{\pi}\frac{dv}{\sqrt{1-v^2}} \end{displaymath}$

すなわち

$\begin{displaymath} \nu_x(E)=\int_{E\cap (-1,1)}\frac{1}{\pi}\frac{dv}{\sqrt{1-v^2}} \end{displaymath}$

となる。

**図 2:** $\displaystyle \frac {1}{\pi \sqrt {1-v^2}}$ ( $\cos nx$ の Young 測度の密度関数)
$\includegraphics[height=25zh]{density.eps}$

この場合 Young 測度は絶対連続で、その密度関数は

での値がもっとも小さく、

では無限に発散する。

$\nu_x(v)$ は確率測度であるから、 $\langle \nu_x(v),G(v)\rangle$ をの重み付きの平均と見ると、これはのところがもっとも重み付けが強く、のところがもっとも重み付けが軽いことを意味する。このことは例えば次のように考えるといいだろう:

$\cos nx$ のように振動して収束しない関数の場合は、各に対してその極限は点になるのではなく、もっと広がったぼんやりしたものになっていて、連続関数をかぶせたものは平均収束としては極限を持つがそれはの平均のようなもので、 $\cos nx$ の値が「たくさん」現われるの付近が重みが強く、 $\cos nx$ の値が「少なく」現われるの付近の重みが軽くなる。

なお、

の付近に $\cos nx$ の値が「たくさん」現われる、というのは、例えば

が自然数でなく時間としての実数変数であると考えて時間とともに $v=\cos nx$ の値の変化を考えてみると、グラフの傾きの小さい

のところはゆっくり動き、傾きの大きい

のところは速く通過することが想像できるだろう。

結局、(7) のためには、

$\nu_{(x,t)}(u)$ を決定し、 $\nu_{(x,t)}(u) = \delta_{\bar{u}(x,t)}(u)$ であることを示す

ということが目標であることになる。

Next: 6 補完測度法 Up: compensated compactness と保存則方程式について Previous: 4 単独保存則方程式

Shigeharu TAKENO
2001年 12月 17日