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4 単独保存則方程式

以下では、Tartar ([13]) による、単独の保存則方程式の初期値問題

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} u_t+f(u)_x=0 & (t>0, x\in{\mbox{... ...})\\ u(x,0)=u_0(x) & (x\in{\mbox{\sl R}}) \end{array}\right.\end{displaymath}$

(2)

に対する補完測度法を用いた弱解の存在証明を、 Chen ([22]), Chen-Lu ([24]) による改良に基づいて紹介する。ここで、 $u=u(x,t)\in{\mbox{\sl R}}$ 、

は

に関して

関数であると仮定し、 $u_0\in L^2\cap L^\infty$ とする。例えば

のときはこの方程式は非粘性 Burgers 方程式

$\begin{displaymath} u_t+\left(\frac{u^2}{2}\right)_x=0\hspace{1zw}(u_t+uu_x=0) \end{displaymath}$

となる。

この方程式の近似解として、粘性近似方程式

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} u_t+f(u)_x=\varepsilon u_{xx} & (... ...=u^\varepsilon _0(x) & (x\in{\mbox{\sl R}}) \end{array}\right.\end{displaymath}$

(3)

の解 $u=u^\varepsilon$ ( $\varepsilon >0$ ) を取ることとする。なお $u^\varepsilon _0$ は、

を $\varepsilon$ に依存したパラメータで適当に平滑化した十分滑らかな関数であるとし、 $\varepsilon$ に関して一様に

$\begin{displaymath} \vert u^\varepsilon _0(x)\vert\leq M,\hspace{1zw}\Vert u^\varepsilon _0\Vert _{L^2}\leq C \end{displaymath}$

で、 $\varepsilon \rightarrow 0$ の時に $u^\varepsilon _0\rightarrow u_0$ となるものとする。

命題 1 このとき、適当な滑らかさを持った (3) の解 $u=u^\varepsilon (x,t)$ が存在し、

$\begin{displaymath} \vert u^\varepsilon (x,t)\vert\leq M,\hspace{1zw} \Vert\sq... ...arepsilon _x(\cdot,\cdot)\Vert _{L^2}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}C \end{displaymath}$

(4)

を満たす。

証明

[23] による。簡単のため、 $u^\varepsilon$ をと書くこととする。

$u^\varepsilon _0$ は $u(\cdot,t)\in H^2\cap C^2$ となる位十分に平滑化しておく。とし、を考えると、 $u(\cdot,t_0)\in H^2$ より $\vert x\vert\rightarrow\infty$ に対しては $u(x,t_0)\rightarrow 0$ となるのでは内部で最大値を取る。それを与えるをとする。

**図 1:** $u(t_0,\cdot )$
$\includegraphics[width=\textwidth]{maximum.eps}$

$\begin{displaymath} \max_{x\in{\mbox{\scriptsize\sl R}}}u(x,t_0)=u(x_0,t_0) \end{displaymath}$

このとき、

で極大であるので

$\displaystyle \left.\frac{d}{dx}u(x,t_0)\right\vert _{x=x_0}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(5)
$\displaystyle \left.\frac{d^2}{dx^2}u(x,t_0)\right\vert _{x=x_0}$	$\textstyle \leq$	$\displaystyle 0$

であり、(3) より

$\begin{displaymath} u_t=\varepsilon u_{xx}-f'(u)u_x \end{displaymath}$

となるので、

$\begin{displaymath} \left.\frac{d}{dt}u(x,t)\right\vert _{x=x_0,t=t_0} = \left. \varepsilon u_{xx}-f'(u)u_x\right\vert _{x=x_0,t=t_0}\leq 0 \end{displaymath}$

となる。これと (5) とは、

が

では

方向には増加しないことを意味するので、よって $\max u(\cdot,t)$ は

に関して非増加となり、

$\begin{displaymath} \max u(\cdot,t)\leq\max u(\cdot,0)=\max u_0(\cdot) \leq M \end{displaymath}$

が言える。同様にして、

$\begin{displaymath} \min u(\cdot,t) \geq \min u_0(\cdot) \geq -M \end{displaymath}$

も言え、最初の不等式が示される。

また、方程式 $u_t+f'(u)u_x = \varepsilon u_{xx}$ を倍すると

$\begin{displaymath} \left(\frac{u^2}{2}\right)_t + F_0(u)_x = \varepsilon (uu_x)_x -\varepsilon u_x^2 \hspace{1zw}(F_0(u)=\int_0^u f'(v)v dv) \end{displaymath}$

と書ける。これを ${\mbox{\sl R}}\times[0,T]$ 上積分すると

$\begin{displaymath} \int_0^Tdt\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\left(\frac{u^2}{2}... ...-\varepsilon \int_0^Tdt\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}u_x^2 dx \end{displaymath}$

となるが、

は $u,u_x\in L^2$ , $\vert u\vert\leq M$ より $f'(u)\in L^\infty$ となるので $F_0(u)_x\in L^1$ であり、 $F_0(u(\pm\infty,t))=F_0(0)=0$ なので

$\begin{displaymath} \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}F_0(u)_xdx = 0, \end{displaymath}$

$(uu_x)_x=u_x^2+uu_{xx}$ も $u,u_x,u_{xx}\in L^2$ なので $(uu_x)_x\in L^1$ であり、また、 $u_x,u_{xx}\in L^2$ より $u_x\in L^\infty$ であるから $\vert x\vert\rightarrow\infty$ のとき $uu_x\rightarrow 0$ となる。よって

$\begin{displaymath} \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}(uu_x)_xdx = 0 \end{displaymath}$

となるので、結局

$\begin{displaymath} \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\frac{1}{2}u^2(x,T)dx-\int_{\... ...-\varepsilon \int_0^Tdt\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}u_x^2 dx \end{displaymath}$

となり、これにより

$\begin{displaymath} \Vert\sqrt{\varepsilon }u_x\Vert _{L^2({\mbox{\scriptsize\s... ...2 \leq \frac{1}{2}\Vert u_0\Vert _{L^2}^2\leq \frac{1}{2}C^2 \end{displaymath}$

が得られる。

次に、初期値問題 (2) の弱解を定義する。

定義 2 $u=u(x,t)\in L^\infty({\mbox{\sl R}}\times[0,T))$ が初期値問題 (2) の $0\leq t < T$ での弱解であるとは任意の $\phi\in C^1_0({\mbox{\sl R}}\times[0,T))$ に対して

$\begin{displaymath} \int_0^T dt\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\{\phi_t u + \phi_... ...)\}dx + \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\phi(x,0)u_0(x)dx = 0 \end{displaymath}$

(6)

を満たすこと。

注 3

ただし、保存則方程式においては、弱解の一意性は成り立たないので、通常は一意性のためにエントロピー条件と呼ばれるものを満たす弱解を考える。 3 節で述べた近似解の極限は、いずれもその条件を満たすことが知られている。

$T=\infty$ に対して粘性近似解 $u=u^\varepsilon$ を (6) の左辺に代入する (それを $I^\varepsilon$ とする) と、

$\begin{eqnarray*} I^\varepsilon & = & \int_0^\infty dt\int_{\mbox{\scriptsi... ...mbox{\scriptsize\sl R}}\phi(x,0)\{u_0(x)-u^\varepsilon _0(x)\}dx \end{eqnarray*}$

となるが、仮定により $\varepsilon \rightarrow 0$ に関して $u_0(x)-u^\varepsilon _0(x)=o(1)$ で、また命題 1 と Schwarz の不等式により

$\begin{displaymath} \left\vert\varepsilon \int_0^\infty dt\int_{\mbox{\scriptsiz... ...eq\frac{C\sqrt{\varepsilon }}{\sqrt{2}}\Vert\phi_x\Vert _{L^2} \end{displaymath}$

なので、結局

$\begin{displaymath} I^\varepsilon = o(1)\hspace{1zw}(\varepsilon \rightarrow 0) \end{displaymath}$

となる。

一方、 $L^\infty(\Omega)$ の汎弱コンパクト性:

「 $\Vert g_n\Vert _{L^\infty(\Omega)}\leq C$ ならばある部分列 $\{g_{n_j}\}_j$ とある関数 $g\in L^\infty(\Omega)$ があって

$\begin{displaymath} g_{n_j}\rightarrow g \hspace{1zw}L^\infty(\Omega) \mbox{weak$\ast$}」 \end{displaymath}$

と $u^\varepsilon$ , $f(u^\varepsilon )$ の一様有界性により、ある部分列 $\{\varepsilon _n\}$ 、ある有界な関数 $\bar{u}$ , $\bar{f}$ があって

$\begin{displaymath} u^{\varepsilon _n}\rightarrow\bar{u},\hspace{1zw} f(u^{\vare... ... _n})\rightarrow\bar{f}\hspace{1zw}L^\infty \mbox{weak$\ast$} \end{displaymath}$

となるので、

$\begin{displaymath} \int_0^\infty dt\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\{\phi_t u^{\v... ...{\scriptsize\sl R}}\phi(x,0)u_0(x)dx =I^{\varepsilon _n}=o(1) \end{displaymath}$

において $n\rightarrow\infty$ とすると

$\begin{displaymath} \int_0^\infty dt\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\{\phi_t\bar{u... ...{f})\}dx + \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\phi(x,0)u_0(x)dx =0 \end{displaymath}$

となる。

よって、もし

$\begin{displaymath} \bar{f}(x,t)=f(\bar{u}(x,t))\hspace{1zw}\mbox{a.e.}\end{displaymath}$

(7)

が言えれば $\bar{u}(x,t)$ が弱解となる。しかし、一般にこれは明らかではない。

例 4

$v_n(x)=\cos nx$ とすると、任意の $\phi\in L^1({\mbox{\sl R}})$ に対して Riemann-Lebesgue の定理により

$\begin{displaymath} \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\phi(x)\cos nx dx\rightarrow 0 \hspace{1zw}(n\rightarrow\infty) \end{displaymath}$

となり、これは

$\begin{displaymath} \cos nx\rightarrow 0\hspace{1zw}L^\infty \mbox{weak$\ast$} \end{displaymath}$

を意味する。一方、

$\begin{displaymath} \cos^2 nx = \frac{1+\cos 2nx}{2} \end{displaymath}$

より、

$\begin{displaymath} \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\phi(x)\cos^2 nx dx = \frac... ...x{\scriptsize\sl R}}\phi(x)dx\hspace{1zw}(n\rightarrow\infty) \end{displaymath}$

となるので、

$\begin{displaymath} \cos^2 nx\rightarrow \frac{1}{2}\hspace{1zw}L^\infty \mbox{weak$\ast$} \end{displaymath}$

であり、すなわち

$\begin{displaymath} w^\ast\!-\!\lim \cos^2 nx \neq (w^\ast\!-\!\lim \cos nx)^2 \end{displaymath}$

であることになる。

この例からも分かるように、一般に $u^\varepsilon \stackrel{\ast}{\rightharpoonup}\bar{u}$ でも $f(u^\varepsilon )\stackrel{\ast}{\rightharpoonup}f(\bar{u})$ とは限らない。

しかし、この $\bar{f}=w^\ast\!-\!\lim f(u^\varepsilon )$ をを用いて記述することを可能とする Young 測度と呼ばれるものがある。

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Shigeharu TAKENO
2001年 12月 17日