4 不変領域

Riemann 不変量 $w$

に対して、後で「不変領域」として使用する次のような領域を考える。

$\displaystyle \Sigma(w_0,z_0) = \{U;\ w(U)\leq w_0,\ z(U)\geq z_0\}$ (14)

なお、本稿ではこの

は、ある

に対して

であるもののみを考える。 $G(+\infty)=\infty$ であれば任意の $w_0$

(

) に対してそのような $U_0$

が常にみつかるが、 $G(+\infty)<\infty$ の場合はそうとは限らないことに注意せよ (本稿では、 $P$

に関する条件として $G(+\infty)=\infty$ は仮定していない)。

領域 $\Sigma (w_0,z_0)$ に $U$ が入る条件は、 $\rho$ , $u$ で考えると

$\begin{displaymath} u+G(\rho)\leq w_0 = u_0 + G(\rho_0), \hspace{1zw}u-G(\rho)\geq z_0 = u_0 - G(\rho_0) \end{displaymath}$

という不等式となり、これは

$\begin{displaymath} \vert u-u_0\vert\leq G(\rho_0)-G(\rho) \end{displaymath}$

と書ける。 $G'(\rho)=C(\rho)/\rho>0$ ( $\rho>0$ ) なので、この不等式は $0\leq\rho\leq\rho_0$ の範囲のみで意味を持ち、よって (14) は

$\displaystyle \Sigma(w_0,z_0) = \{U;\ \vert u-u_0\vert\leq G(\rho_0)-G(\rho), \ 0\leq\rho\leq\rho_0\}$ (15)

と書くこともできる。この領域は、 $(w,z)$

, $(\rho ,u)$ , $(\rho ,m)$ の座標軸では、それぞれ図 1 $\sim$ 3 のようになる (厳密な図ではなく、おおよその図)。

**図 1:** 座標での $\Sigma (w_0,z_0)$
$\includegraphics[width=0.9\textwidth]{Sigma-wz.eps}$

**図 2:** $(\rho ,u)$ 座標での $\Sigma (w_0,z_0)$
$\includegraphics[width=0.9\textwidth]{Sigma-rhou.eps}$

**図 3:** $(\rho ,m)$ 座標での $\Sigma (w_0,z_0)$
$\includegraphics[width=0.9\textwidth]{Sigma-rhom.eps}$

これらの図からもわかるが、 $(w,z)$

, $(\rho ,u)$ 座標系での $w=z$

、すなわち $\rho=0$ 上の線分は、本来の $U$

である $(\rho ,m)$ 座標系では原点 1 点に対応することに注意する。

今、この領域 $\Sigma (w_0,z_0)$ での固有値の絶対値の上限を、 $\Lambda(w_0,z_0)$ と書くことにする:

$\displaystyle \Lambda(w_0,z_0) = \sup\{\vert\lambda_j(U)\vert;\ j=1,2,\ U\in\Sigma(w_0,z_0)\}$ (16)

(15) より、 $\Sigma (w_0,z_0)$ での $\max\{\vert\lambda_1(U)\vert,\vert\lambda_2(U)\vert\}=\vert u\vert+C(\rho)$ の最大値は、

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\max\{u_0+G(\rho_0)-G(\rho)+C(\rho), -u_0+G(\rho_0)-G(\rho)+C(\rho)\}} \\ &=& \vert u_0\vert+G(\rho_0)+C(\rho)-G(\rho)\end{eqnarray*}$

の $0\leq\rho\leq\rho_0$ での最大値に等しく、よって $\Lambda(w_0,z_0)$ は

$\displaystyle \Lambda(w_0,z_0) = \vert u_0\vert+G(\rho_0)+\sup\{C(\rho)-G(\rho);\ 0\leq\rho\leq\rho_0\}$ (17)

となることがわかる。例えば $P=A\rho^\gamma$ , $\gamma>1$ (等エントロピー) の場合は、

$\begin{displaymath} C(\rho) = \alpha\rho^\theta, \hspace{1zw}G(\rho)=\frac{\alph... ...=\sqrt{A\gamma},\hspace{0.5zw}\theta=\frac{\gamma-1}{2}\right) \end{displaymath}$

なので、 $\gamma\leq 3$ ならば $0<\theta\leq 1$ より

$\begin{displaymath} C(\rho)-G(\rho) = -\alpha\frac{1-\theta}{\theta}\rho^\theta\leq 0 \end{displaymath}$

となり、よって

$\displaystyle \Lambda(w_0,z_0) = \vert u_0\vert+G(\rho_0) = \max\{w_0,-z_0\}$ (18)

に等しい。また、 $\gamma>3$ ならば $\theta>1$ より

$\begin{displaymath} C(\rho)-G(\rho) = \alpha\frac{\theta-1}{\theta}\rho^\theta \in [0,C(\rho_0)-G(\rho_0)] \end{displaymath}$

なので、

$\displaystyle \Lambda(w_0,z_0) = \vert u_0\vert+C(\rho_0) = \max\{-\lambda_1(U_0),\lambda_2(U_0)\}$ (19)

となる。しかし、一般には $(C-G)$

は単調とは限らず、よって、(17) は (18), (19) のような易しい式になるとは限らない。

最後に、6 節で利用する以下の性質を示しておく。

命題 1

$\Sigma (w_0,z_0)$ は、 $(\rho ,m)$ の座標系では凸図形、すなわち、

$\displaystyle \Sigma(w_0,z_0) = \{U;\ f_1(\rho)\leq m\leq f_2(\rho),\ 0\leq\rho\leq\rho_0\}$ (20)

で、 $f_1(\rho)$ は下に凸、 $f_2(\rho)$ は上に凸。

証明

$m=f_2(\rho)$ は $w(U)=w_0$ なので、

$\begin{displaymath} f_2(\rho) = \rho u = \rho(w_0-G(\rho)) \end{displaymath}$

となり、その導関数は

$\begin{eqnarray*}\frac{d m}{d\rho} &=& w_0 - (\rho G(\rho))' = w_0 - (G(\rho) + C(\rho)) = w_0 - H(\rho) \end{eqnarray*}$

となる。よって、(6) により $d^2 m/d\rho^2\leq 0$ だからこの曲線は上に凸となる。 $m=f_1(\rho)$ も $z(U)=z_0$

なので、

$\begin{displaymath} f_1(\rho) = \rho u = \rho(z_0 + G(\rho)) \end{displaymath}$

だから、上と同様にして下に凸であることがわかる。

竹野茂治＠新潟工科大学
2020-02-28