4 サインの巾乗の微分

(18) の被積分関数の分子の $(\sin^n x)^{(m)}$ は、 [1] で見たように、以下のような形になる。

• $n+m$ が奇数の場合は $\sin jx$ の線形結合で表される ($n$ と $j$ の偶・奇は一致する)
• $n+m$ が偶数の場合は $\cos jx$ と 1 の線形結合で表される ($n$ と $j$ の偶・奇は一致する) が、 $m\geq 1$ ならば 1 の線形結合は含まれない

補題 1 により、$a>0$ に対して、

$$\int_0^\infty\frac{\sin ax}{x^\delta}\,dx = \int_0^\infty\frac{\sin ax}{(ax)^\delta}\,d(ax)\frac{a^\delta}{a} \ =\ a^{\delta-1}\mathit{\Gamma}(1-\delta)\sin\frac{\pi(1-\delta)}{2},$$ (19)

$$\int_0^\infty\frac{\cos ax}{x^\delta}\,dx = \int_0^\infty\frac{\cos ax}{(ax)^\delta}\,d(ax)\frac{a^\delta}{a} \ =\ a^{\delta-1}\mathit{\Gamma}(1-\delta)\cos\frac{\pi(1-\delta)}{2}$$ (20)

となるので、(18), (19), (20) と上を組み合わせれば、 $n+m$ が奇数の場合は $I_{n,p}$ は収束し、 (19) でその値も計算でき、 $n+m$ が偶数の場合は $m\geq 1$ ならば収束して (20) で計算できるが、 $m=0$ の場合、すなわち $0<p<1$ で $n$ が偶数の場合は、

$$\int_0^\infty\frac{dx}{x^\delta} = \infty$$

により $I_{n,p}$ は発散することがわかる。 これで $I_{n,p}$ の収束性もわかったことになる。 すなわち、$p (>0)$ が非整数の場合、(3) の元、 $p>1$ ($m=[p]\geq 1$) のときは $I_{n,p}$ は収束、 $0<p<1$ ($m=0$) のときは、$n$ が奇数ならば収束するが、偶数ならば発散する。

あとは、[1] と同様に $I_{n,p}$ の値を計算する式を作ることにする。 [1] の計算により、以下がわかる ($\nu=[(n+1)/2]$, $\mu=[(m+1)/2]$、詳細は [1] を参照)。

• $n$, $m$ がいずれも奇数の場合は、
  

  $$(\sin^n x)^{(m)} = (\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-1)}$$

  $$= \frac{(-1)^\mu}{2^{n-1}} \sum_{j=1}^\nu (-1)^j\left(\begin{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^m\cos(2j-1)x$$ (21)

  
  

• $n$, $m$ がいずれも偶数で $m\geq 2$ の場合は、
  

  $$(\sin^n x)^{(m)} = (\sin^{2\nu}x)^{(2\mu)}$$

  $$= \frac{(-1)^\mu}{2^{n-1}} \sum_{j=1}^\nu (-1)^j\left(\begin{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^m\cos2jx$$ (22)

  
  

• $n$ が奇数、$m$ が偶数の場合は、
  

  $$(\sin^n x)^{(m)} = (\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu)}$$

  $$= \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{n-1}} \sum_{j=1}^\nu (-1)^j\left(\begin{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^m\sin(2j-1)x$$ (23)

  
  

• $n$ が偶数、$m$ が奇数の場合は、
  

  $$(\sin^n x)^{(m)} = (\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-1)}$$

  $$= \frac{(-1)^{\mu}}{2^{n-1}} \sum_{j=1}^\nu (-1)^j\left(\begin{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^m\sin2jx$$ (24)

  
  

これを使うと、例えば $n$, $m$ がともに奇数の場合は、 (18), (20), (21) より、

$$\begin{eqnarray*}I_{n,p} &=& \frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)}... ...ay}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{p-1}\end{eqnarray*}$$

となるが、ガンマ関数に対する有名な公式

  $$\mathit{\Gamma}(x)\mathit{\Gamma}(1-x) = \frac{\pi}{\sin\pi x} \hspace{1zw}(0<x<1)$$ (25)

と、 $\cos\pi(1-\delta)/2=\sin(\pi\delta/2)$ を用いると、

$$\mathit{\Gamma}(\delta)\mathit{\Gamma}(1-\delta)\cos\frac{\pi}{2}... ...c{\pi}{\sin\pi\delta}\,\sin\frac{\pi\delta}{2} =\frac{\pi}{2\cos(\pi\delta/2)}$$

となる。よって、

  $$I_{n,p} = \frac{(-1)^\mu\pi}{\mathit{\Gamma}(p)\cos(\pi\delta/... ...eft(\begin{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{p-1}$$ (26)

となる。ここで、 $\nu=(n+1)/2 = [(n+1)/2]$ であり、 $m=[p]$ ($m<p<m+1$) は奇数なので、

$$\mu = \frac{m+1}{2}<\frac{p+1}{2}<\frac{m+1}{2}\,+\,\frac{1}{2}$$

より $\mu = [(p+1)/2]$ と書ける。

また、すべての自然数 $n$ と実数 $q$ に対して $\gamma_{n}(q)$ を、 $\nu=[(n+1)/2]$ として

$$\gamma_{n}(q) = \frac{1}{2^n}\sum_{j=1}^{\nu} (-1)^j\left(\begin... ... 2j & (\mbox{$n$\ が偶数のとき})\\ 2j-1 & (\mbox{$n$\ が奇数のとき}) \end{array}\right.$$

と定義すると、(26) は、

$$I_{n,p} = \frac{(-1)^\mu\pi}{\mathit{\Gamma}(p)\cos(\pi\delta/2)}\gamma_{n}(p-1)$$

と書くこともできる。さらに、今の場合 $m=2\mu-1$ なので、

$$\begin{eqnarray*}\cos\frac{\pi\delta}{2} &=&\cos\frac{\pi(p-m)}{2} \ =\ \cos\f... ...i\mu-\,\frac{\pi}{2}\right) \ =\ (-1)^{\mu-1}\sin\frac{\pi p}{2}\end{eqnarray*}$$

となるので、

  $$I_{n,p} = -\,\frac{\pi}{\mathit{\Gamma}(p)}\gamma_{n}(p-1)\mathop{\mathrm{cosec}}\frac{\pi p}{2}$$ (27)

と、$\nu$, $\mu$, $\delta$, $m$ を用いない形に表すこともできる。

以下、他の場合も同様に変形を行う。 $n=2\nu$, $m=2\mu$ の場合は、(18), (20), (22) より、

$$\begin{eqnarray*}I_{n,p} &=& \frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)}... .../2)}\gamma_{n}(p-1) \hspace{1zw}\hspace{1zw}(\nu=n/2=[(n+1)/2]) \end{eqnarray*}$$

となるが、$m=2\mu$ より、

$$\cos\frac{\pi\delta}{2} = \cos\frac{\pi p}{2}\cos\frac{\pi m}{2} ... ...n\frac{\pi m}{2} = \cos\frac{\pi p}{2}\cos\pi\mu = (-1)^\mu\cos\frac{\pi p}{2}$$

なので、

  $$I_{n,p} = \frac{\pi}{\mathit{\Gamma}(p)}\gamma_{n}(p-1)\sec\frac{\pi p}{2}$$ (28)

となる。

$n=2\nu-1$, $m=2\mu$ の場合は、(18), (19), (23) より、

$$\begin{eqnarray*}I_{n,p} &=& \frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)}... ...\gamma_{n}(p-1) \hspace{1zw}\hspace{1zw}(\nu=(n+1)/2=[(n+1)/2]) \end{eqnarray*}$$

となるが、$m=2\mu$ より、

$$\sin\frac{\pi\delta}{2} = \sin\frac{\pi p}{2}\cos\frac{\pi m}{2} ... ...n\frac{\pi m}{2} = \sin\frac{\pi p}{2}\cos\pi\mu = (-1)^\mu\sin\frac{\pi p}{2}$$

なので、

  $$I_{n,p} = -\,\frac{\pi}{\mathit{\Gamma}(p)}\gamma_{n}(p-1)\mathop{\mathrm{cosec}}\frac{\pi p}{2}$$ (29)

となる。

最後に $n=2\nu$, $m=2\mu-1$ の場合は、(18), (19), (24) より、

$$\begin{eqnarray*}I_{n,p} &=& \frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)}... .../2)}\gamma_{n}(p-1) \hspace{1zw}\hspace{1zw}(\nu=n/2=[(n+1)/2]) \end{eqnarray*}$$

となるが、$m=2\mu-1$ より、

$$\begin{eqnarray*}\sin\frac{\pi\delta}{2} &=& \sin\frac{\pi p}{2}\cos\frac{\pi ... ...t(\pi\mu-\frac{\pi}{2}\right) \\ &=& (-1)^\mu\cos\frac{\pi p}{2}\end{eqnarray*}$$

なので、

  $$I_{n,p} = \frac{\pi}{\mathit{\Gamma}(p)}\gamma_{n}(p-1)\sec\frac{\pi p}{2}$$ (30)

となる。結局、(27), (28), (29), (30) より、

  $$I_{n,p} = \frac{\pi}{\mathit{\Gamma}(p)}\gamma_{n}(p-1) \times\... ...athop{\mathrm{cosec}}\frac{\pi p}{2} & (\mbox{$n$\ が奇数のとき}) \end{array}\right.$$ (31)

となり、$m=[p]$ の偶・奇に関わらない形に書けることになる。