3 部分積分

に対する $I_{n,p}$ は、[1] の $p$

が整数の場合と同様、部分積分によって $0<p<1$

の場合に帰着する。まずはその公式を見ておく。

$p$ は非整数であるとし、 $[p]=m\geq 0$ ( $[\ ]$ はガウス記号)、 $\delta=p-m$ ( $0<\delta<1$ ) とすると、

$\begin{eqnarray*}(x^{-\delta})^{(m)} &=& -\delta(-\delta-1)\cdots(-\delta-m+1)x^{-\delta-m} \\ &=& (-1)^m(p-1)(p-2)\cdots(p-m)x^{-p}\end{eqnarray*}$

であり、定数の積の部分は、

$\displaystyle (p-1)(p-2)\cdots(p-m) = \left(\begin{array}{c} \!\!p-1\!\! \\ \!\!m\!\! \end{array}\right)m!$ (16)

と書くこともできるが、ここではガンマ関数で表しておく。ガンマ関数 $\mathit{\Gamma}(x)$ では、

$\displaystyle \mathit{\Gamma}(x) = (x-1)\mathit{\Gamma}(x-1) \hspace{1zw}(x>1)$

が成り立つので、(16) は、

$\displaystyle (p-1)(p-2)\cdots(p-m) = \frac{\mathit{\Gamma}(p)}{\mathit{\Gamma}(p-m)} = \frac{\mathit{\Gamma}(p)}{\mathit{\Gamma}(\delta)}$

と書くことができる。これにより、

$\displaystyle x^{-p} = (-1)^m\frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)}(x^{-\delta})^{(m)}$

となるので、

回部分積分の公式

$\displaystyle \int f^{(m)}g dx = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}f^{(m-k)}g^{(k-1)} + (-1)^m\int fg^{(m)}dx$

より、

$\displaystyle \int x^{-p}\sin^n xdx$	$\textstyle =$	$\displaystyle (-1)^m\frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)} \sum_{k=1}^m(-1)^{k-1}(x^{-\delta})^{(m-k)}(\sin^n x)^{(k-1)}$
		$\displaystyle \mbox{} +\frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)}\int x^{-\delta}(\sin^n x)^{(m)}dx$	(17)