6 S(k,r)
この節以降で、3 節で述べた方法での計算を行い、
それが 4 節での結果 (3) と一致することを確認する。
ただし、ここから先の話は元の問題からすれば本質的な話ではなく、
純粋に数学的な議論のみである。
また、この方針での計算はかなり大変であるので、
この後いくつかの節に分けて考察する。
3 節で考えたように、
回余計にかって
回で終わる確率は

であるので、期待値
は、
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(4) |
となる。まずは、この
を
と
の式で表すところから始める。
なお、
のときは明らかに
であるから、
以後
として考える。
3 節で見たように、
には、
が成り立つ。
も言えていたが、これはむしろ (5) で
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(7) |
であるとすれば得られるので、(7) が成り立つとすればよい。
なお、(5) を
この式の
を
とした式と比較してみればわかるが、
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(8) |
が成り立つことに注意する。以後、この (6), (7), (8) から
を求めていくことにするが、
逆にこれを満たす
が一意に決定されることも容易にわかる。
さて、今 (8) で
としてみると、
(6) より
となるから、この両辺を
で割れば、
となるので、こ
の式にこの式の
を
にしたものを代入する、
といったことを繰り返すことによって、

となり、よって
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(9) |
が得られる。同様に、(8) で
とすると
となるので、
で割れば

より、
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(10) |
のようになる。この、(9), (10) より、
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(11) |
の形であることが想像される。
もし、この (11) を (8) に代入して、
(6), (7), (8) を満たすように矛盾なく
を決定できれば、
前に述べたようにそれを満たす
は一意であるから、
それで
が得られることになる。
(11) を (8) に代入すると、
となる。よって、
に対して、
であればよく、これは、
を意味するので、

となり、
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(12) |
となることになる。この
は次のように決定できる。
(11) に
を代入すると (7) より
となるが、ここに (12) を代入して
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(13) |
が得られるが、
この (13) から次々
を求めることができる。
例えば、(13) に
を代入すれば
より
となり、
を代入すると、
となるので、
と求まる。以下、計算すると、
のようになるので、
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(14) |
となることが予想される。
これは実際に、(13) と帰納法を用いれば証明できる。
まで (14) が成り立つとすれば、
(13) により
は、
となる。ここで、
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(15) |
であることを用いれば、

となるので、帰納法により (14) が成り立つことになる。
(15) は、母関数の方法を用いて以下のように証明できる。
二項定理により、
であるが、
なので (15) は
に等しいことになる。
一方、テイラー展開を考えると、

となるので
となり、
これで (15) が示されたことになる。
結局、(11), (12), (14) により、
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(16) |
となる。
これは、
とすると
となり (6) も満たすので、
(6), (7), (8) を矛盾なく満たすことになり、
確かに (16) が成り立つことがわかる。
竹野茂治@新潟工科大学
2008年5月24日