5 相互力の消去

次に、ニュートンの運動方程式 (3) と 回転の方程式 (6) から $\mbox{\boldmath$T$}_0\sim\mbox{\boldmath$T$}_{n-1}$ を消去する。

(3) より、

$$\mbox{\boldmath$T$}_{j-1} - \mbox{\boldmath$T$}_j = -m_j(\d... ...h$r$}}_j + g\mbox{\boldmath$e$}_y) \hspace{1zw}(1\leq j\leq n)$$ (7)

となるが、これを $j=k+1$ から $j=n$ まで加えると、 $\mbox{\boldmath$T$}_n=0$ より

$$(\mbox{\boldmath$T$}_{k} - \mbox{\boldmath$T$}_{k+1}) + (\mb... ...T$}_{n-1} - \mbox{\boldmath$T$}_{n}) = \mbox{\boldmath$T$}_{k}$$

となるので、よって $\mbox{\boldmath$T$}_{k}$ は

$$\mbox{\boldmath$T$}_{k} = -\sum_{j=k+1}^n m_j(\ddot{\mbox{... ...h$r$}}_j+g\mbox{\boldmath$e$}_y) \hspace{1zw}(0\leq k\leq n-1)$$ (8)

と表される。そして、これにより

$$\mbox{\boldmath$T$}_{j}+\mbox{\boldmath$T$}_{j-1} = -m_j(\ddot{\mbox{\boldmath$r$}}_j+g\mbox{\boldmath$e$}_y) -2\sum_{i=j+1}^n m_i(\ddot{\mbox{\boldmath$r$}}_i+g\mbox{\boldmath$e$}_y)$$

$$= -\frac{d^2}{dt^2}\left(m_j\mbox{\boldmath$r$}_j+2\sum_{i=j+1}^n m... ...ldmath$r$}_i\right) -\left(m_j+2\sum_{i=j+1}^n m_i\right)g\mbox{\boldmath$e$}_y$$ (9)

となり、これを (6) に代入すれば $\mbox{\boldmath$T$}_j$ が 消去できることになる。 その前に式 (9) を $\mbox{\boldmath$p$}(\theta_k)$ を用いて 表しておく。そのために、

$$\mbox{\boldmath$r$}_j = \sum_{k=1}^na_{jk}\mbox{\boldmath$p$}(\theta_k) \hspace{1zw}(1\leq j\leq n)$$ (10)

と書くことにする。(2) より、この $a_{jk}$ は

$$a_{jk} = \left\{\begin{array}{ll} l_k & (k<j)\\ \displaystyle \frac{l_j}{2} & (k=j)\\ 0 & (k>j) \end{array}\right.$$ (11)

となる。また、

$$L_j = \frac{l_j}{2} + \sum_{i=j+1}^n l_m \hspace{1zw}(1\leq j\leq n)$$ (12)

とすれば、(9) の右辺 2 項目の係数は

$$m_j+2\sum_{i=j+1}^n m_i = \rho\left(l_j+2\sum_{i=j+1}^n l_i\right) = 2\rho L_j$$ (13)

と書ける。

(9) の右辺 1 項目の部分は、(10) により、

$${m_j\mbox{\boldmath$r$}_j + 2\sum_{i=j+1}^n m_i\mbox{\boldmath$r$... ...\theta_k) + 2\sum_{i=j+1}^n m_i\sum_{k=1}^na_{ik}\mbox{\boldmath$p$}(\theta_k)}$$

$$= \sum_{k=1}^n\mbox{\boldmath$p$}(\theta_k) \left(m_ja_{jk} + 2\sum_{i=j+1}^n m_ia_{ik}\right) =\ \sum_{k=1}^nb_{jk}\mbox{\boldmath$p$}(\theta_k)$$ (14)

の形となるが、$b_{jk}$ は

$$b_{jk} = m_ja_{jk} + 2\sum_{i=j+1}^n m_ia_{ik}$$

であり、$k<j$ のときは (11) より

$$b_{jk} = m_jl_k + 2\sum_{i=j+1}^n m_il_k = 2\rho L_j l_k,$$

$k=j$ のときは、

$$b_{jj} = m_ja_{jj} + 2\sum_{i=j+1}^n m_ia_{ij} = m_j\frac{l... ..._{i=j+1}^n m_il_j = 2\rho \left(L_j - \frac{l_j}{4}\right)l_j,$$

$k>j$ のときは、

$$b_{jk} = 2m_ka_{kk} + 2\sum_{i=k+1}^n m_ia_{ik} = m_kl_k + 2\sum_{i=k+1}^n m_il_k = 2\rho L_k l_k$$

となり、よって、

$$b_{jk} = \ \left\{\begin{array}{ll} 2\rho L_j l_k & (k... ...}=\ 2\rho\left(L_{j\vee k}-\frac{l_j}{4}\delta_{jk}\right)l_k$$ (15)

となる。ここで、 $a\vee b=\max\{a,b\}$, $\delta_{jk}=0$ ($j\neq k$), $\delta_{jj}=1$ とする。

(15), および (13) により、 (9) は、

$$\mbox{\boldmath$T$}_{j}+\mbox{\boldmath$T$}_{j-1} =\ ... ...box{\boldmath$p$}}(\theta_k) -2\rho L_jg\mbox{\boldmath$e$}_y$$ (16)

となる。ここで、

$$\ddot{\mbox{\boldmath$p$}}(\theta_k) = \frac{d}{dt}\left(\mb... ...t{\theta_k})^2 + \mbox{\boldmath$q$}(\theta_k)\ddot{\theta_k}$$

であり、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$p$}(\theta_k)\mathop{・}\mbox{\boldmath$q$}(\th... ...$e$}_y\mathop{・}\mbox{\boldmath$q$}(\theta_j) &=& \sin\theta_j\end{eqnarray*}$$

なので、(16) より (6) は、

$$\begin{eqnarray*}\frac{m_j l_j}{12}\ddot{\theta}_j &=& \frac{1}{2}(\mbox{\bol... ...ta_j-\theta_k)\} \nonumber && \mbox{}-\rho L_j g\sin\theta_j \end{eqnarray*}$$

となり、これを $\rho$ で割れば、

$${\frac{l_j^2}{12}\ddot{\theta}_j +\sum_{k=1}^n \left(L_{j\vee k}-... ...{\theta_k}\cos(\theta_j-\theta_k) +(\dot{\theta_k})^2\sin(\theta_j-\theta_k)\}}$$

$$\mbox{}+L_j g\sin\theta_j = 0$$ (17)

となるが、この式の $\theta _j$ の微分の項をみると、

$$\frac{l_j^2}{12}\ddot{\theta}_j +\left(L_j-\frac{l_j}{4}\rig... ...t{\theta_j} = \left(L_j-\frac{l_j}{6}\right)l_j\ddot{\theta_j}$$

であり、また (17) の $(\dot{\theta}_j)^2$ の 係数は 0 になるので、結局 (17) は

$$\sum_{k=1}^n \left(L_{j\vee k}-\frac{l_j}{6}\delta_{jk}\ri... ...t{\theta_k})^2\sin(\theta_j-\theta_k)\} +L_j g\sin\theta_j = 0$$ (18)

と書くことができる。 これが、陽ではないが、 $\theta_1\sim\theta_n$ に対する 2 階の連立常微分方程式となる。

例えば、$l_j=l$ ($1\leq j\leq n$)、 すなわちすべての $A_j$ の長さが等しい場合は、

$$L_{j\vee k} - \frac{l_j}{6}\delta_{jk} =\ l\left(n-j\vee ... ...style l\left(n-j + \frac{1}{3}\right) & (j=k)\end{array}\right.$$

なので、この場合で $n=2$ のときに方程式を書き下すと、

$$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{4\ddot{\theta... ...eta_2}}{3} +\frac{g}{2l}\sin\theta_2 &=0 \end{array}\right.$$ (19)

となる。

最後に、(18) を行列の形で書いておく。 簡単のため、

$$\alpha_{jk} = \alpha_{jk}(l_1,\ldots,l_n) = L_{j\vee k}-\frac{l_j}{6}\delta_{jk}$$ (20)

と書くことにすると、

$$A(\theta) = \left[\rule[-0.5zh]{0pt}{2zh}\ l_k\alpha_{jk}... ...t}{2zh}\ l_k\alpha_{jk}\sin(\theta_j-\theta_k) \right]_{j,k}$$ (21)

に対して、(18) は

$$A(\theta) \left[\begin{array}{c}\ddot{\theta_1} \vdots\\... ..._1\sin\theta_1 \vdots L_n\sin\theta_n\end{array}\right] =0$$ (22)

の形となる。 なお、 $\alpha_{kj}=\alpha_{jk}$ なので、 $l_j=l$ ($1\leq j\leq n$) の場合は、$A(\theta)$ は対称行列、 $B(\theta)$ は交代行列となる。