5 相互力の消去
次に、ニュートンの運動方程式 (3) と
回転の方程式 (6) から
を消去する。
(3) より、
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(7) |
となるが、これを
から
まで加えると、
より
となるので、よって
は
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(8) |
と表される。そして、これにより
となり、これを (6) に代入すれば
が
消去できることになる。
その前に式 (9) を
を用いて
表しておく。そのために、
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(10) |
と書くことにする。(2) より、この
は
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(11) |
となる。また、
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(12) |
とすれば、(9) の右辺 2 項目の係数は
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(13) |
と書ける。
(9) の右辺 1 項目の部分は、(10) により、
の形となるが、
は
であり、
のときは (11) より
のときは、
のときは、
となり、よって、
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(15) |
となる。ここで、
,
(
),
とする。
(15), および (13) により、
(9) は、
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(16) |
となる。ここで、
であり、
なので、(16) より (6) は、
となり、これを
で割れば、
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(17) |
となるが、この式の
の微分の項をみると、
であり、また (17) の
の
係数は 0 になるので、結局 (17) は
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(18) |
と書くことができる。
これが、陽ではないが、
に対する 2 階の連立常微分方程式となる。
例えば、
(
)、
すなわちすべての
の長さが等しい場合は、
なので、この場合で
のときに方程式を書き下すと、
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(19) |
となる。
最後に、(18) を行列の形で書いておく。
簡単のため、
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(20) |
と書くことにすると、
![\begin{displaymath}
A(\theta) = \left[\rule[-0.5zh]{0pt}{2zh}\
l_k\alpha_{jk}...
...t}{2zh}\
l_k\alpha_{jk}\sin(\theta_j-\theta_k) \right]_{j,k}\end{displaymath}](img100.png) |
(21) |
に対して、(18) は
![\begin{displaymath}
A(\theta)
\left[\begin{array}{c}\ddot{\theta_1} \vdots\\...
..._1\sin\theta_1 \vdots L_n\sin\theta_n\end{array}\right]
=0\end{displaymath}](img101.png) |
(22) |
の形となる。
なお、
なので、
(
) の場合は、
は対称行列、
は交代行列となる。
竹野茂治@新潟工科大学
2018-11-12