4 運動方程式

運動方程式は、各剛体毎にその重心を中心とする方程式を考えればよく、 そのために各剛体にかかる力を考える。

剛体 $A_j$ の重心 $\mbox{\boldmath$r$}_j$ には、 $A_j$ の質量に対する重力 $-m_jg\mbox{\boldmath$e$}_y$ ( $\mbox{\boldmath$e$}_y=(0,1)$, $g$ は重力加速度) がかかり、 つなぎ目 $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_{j-1}$, $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_j$ の場所では、 $A_{j-1}$, $A_{j+1}$ からの力がかかる。 $A_{j+1}$ が $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_j$ の場所で $A_j$ に及ぼす力 を $\mbox{\boldmath$T$}_j$ とすると、その反作用により、 $A_j$ は $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_j$ の場所で $A_{j+1}$ に $-\mbox{\boldmath$T$}_j$ の 力を及ぼすことになる。

よって、$A_j$ の運動方程式は、

$$m_j\ddot{\mbox{\boldmath$r$}}_j = \mbox{\boldmath$T$}_j-\mb... ...$}_{j-1}-m_jg\mbox{\boldmath$e$}_y \hspace{1zw}(1\leq j\leq n)$$ (3)

となる。ここで、「$\dot{}$」は時刻 $t$ での微分を意味するものとする。 なお、 $-\mbox{\boldmath$T$}_0$ は $A_1$ を固定した始点からの反作用であり、 また $\mbox{\boldmath$T$}_n=0$ であることに注意する。

次は $\mbox{\boldmath$r$}_j$ を中心とする回転運動の方程式を考える。

$A_j$ は単位ベクトル $\mbox{\boldmath$q$}(\theta_j)$ に垂直で、 $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_j$ では $\mbox{\boldmath$q$}(\theta_j)$ 方向の力によって $\theta$ が増える回転をする (3)。

図 3: $A_j$ に対する回転力のモーメント

よって、 $\mbox{\boldmath$T$}_{j}$ が $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_j$ で、 $\mbox{\boldmath$r$}_j$ を中心に $A_j$ を $\theta _j$ の増える方向に 回そうとするモーメントは、

$$\frac{l_j}{2}\mbox{\boldmath$T$}_{j}\mathop{・}\mbox{\boldmath$q$}(\theta_j)$$

の内積によって与えられる。同様に $-\mbox{\boldmath$T$}_{j-1}$ が $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_{j-1}$ で、 $\mbox{\boldmath$r$}_j$ を中心に $A_j$ を回そうとするモーメントは、

$$\frac{l_j}{2}(-\mbox{\boldmath$T$}_{j-1})\mathop{・}(-\mbox{... ...x{\boldmath$T$}_{j-1})\mathop{・}\mbox{\boldmath$q$}(\theta_j)$$

となる。よって、$A_j$ の重心での慣性モーメントを $I_j$ とすると、 $A_j$ の $\mbox{\boldmath$r$}_j$ 中心での回転の方程式は次のようになる。

$$I_j\ddot{\theta}_j = \frac{l_j}{2}(\mbox{\boldmath$T$}_j+... ...p{・}\mbox{\boldmath$q$}(\theta_j) \hspace{1zw}(1\leq j\leq n)$$ (4)

慣性モーメント $I_j$ は、長さ $l_j$ と線密度 $\rho$ により

$$I_j =\rho\int_{-l_j/2}^{l_j/2}x^2 dx =\frac{2\rho}{3}\lef... ...j}{2}\right)^3 =\frac{\rho l_j^3}{12} =\frac{m_j l_j^2}{12}$$ (5)

となるので、(4) は

$$\frac{m_j l_j}{12}\ddot{\theta}_j = \frac{1}{2}(\mbox{\bo... ...p{・}\mbox{\boldmath$q$}(\theta_j) \hspace{1zw}(1\leq j\leq n)$$ (6)

となる。

(3) の運動方程式は、2 次元ベクトルなので、 成分で考えれば $2n$ 本あり、(6) は $n$ 本あるので 合計 $3n$ 本、 未知関数は $\mbox{\boldmath$T$}_0\sim\mbox{\boldmath$T$}_{n-1}$ を成分で考えれば $2n$ 個、 $\theta_1\sim\theta_n$ が $n$ 個なので、 (3) と (6) から $\mbox{\boldmath$T$}_0\sim\mbox{\boldmath$T$}_{n-1}$ を消去すれば、 $\theta_1\sim\theta_n$ に対する丁度 $n$ 本の方程式が得られることになる。