3 記号

1 平面内の剛体の運動は、各剛体の向きを示す $n$ 個の角を決めれば すべての状態が決定するので、 その $n$ 個の角が求めるべき未知関数となる。

剛体の棒には、上から順に $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ と名前をつけ、 各 $A_j$ の長さ、質量をそれぞれ $l_j$, $m_j$ とするが、 剛体棒の線密度を $\rho$ とすれば $m_j=\rho l_j$ となる。 鉛直下向きの方向に対して、$A_j$ が右側に回転した角を $\theta _j$ とし、 $A_j$ の中心 (= 重心) の位置ベクトルを $\mbox{\boldmath$r$}_j$, $A_j$ と $A_{j-1}$ のつなぎ目の位置ベクトルを $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_{j-1}$ と する (図 2)。

図 2: $l_j$, $\mbox{\boldmath $r$}_j$, $\mbox{\boldmath $\hat{r}$}_j$, $\theta _j$

鉛直下向きから右に $\theta$ 回転させた単位ベクトルを $\mbox{\boldmath$p$}(\theta)$、 それをさらに $\pi/2$ 回転させたベクトルを $\mbox{\boldmath$q$}(\theta)$ とすると

$$\mbox{\boldmath$p$}(\theta) = (\sin\theta, -\cos\theta), \hspace{1zw} \mbox{\boldmath$q$}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)$$

であり、$A_1$ は原点からぶらさげるとすれば、 $A_j$ は $\mbox{\boldmath$p$}(\theta_j)$ の方向を向くので、

$$\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_0 = 0, \hspace{1zw}\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_j = \sum_{k=1}^j l_k\mbox{\boldmath$p$}(\theta_k)$$ (1)

となり、よって $\mbox{\boldmath$r$}_j$ は

$$\mbox{\boldmath$r$}_j=\mbox{\boldmath$\hat{r}$}_{j-1} + \fr... ...th$p$}(\theta_k) + \frac{l_j}{2}\mbox{\boldmath$p$}(\theta_j)$$ (2)

となる。これで、全体が角 $\theta_1\sim\theta_n$ で表されることになる。